Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений, метод Жордана-Гаусса (метод Гаусса-Жордана)

Рассмотрим систему линейных уравнений. Сначала перепишем её в читаемом виде:

1. x_1 + x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 6
2. x_1 + 2x_2 - x_4 = -6
3. x_2 + x_3 + 3x_4 = 16
4. 2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6

Шаг 1: Составим расширенную матрицу системы

Система содержит 4 уравнения и 4 переменные. Запишем коэффициенты и свободные члены в виде расширенной матрицы:

 \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & 2 & | & 6 \ 1 & 2 & 0 & -1 & | & -6 \ 0 & 1 & 1 & 3 & | & 16 \ 2 & 3 & 2 & 0 & | & 6 \ \end{bmatrix} 

Шаг 2: Приведение к ступенчатому виду (метод Жордана-Гаусса)

Цель — привести матрицу к виду, где слева единичная матрица, а справа — решения.

Этап 1: Преобразуем первую строку (опорный элемент — [1,1] = 1)

Оставим первую строку как есть:

R_1 = [1, 1, -3, 2 | 6]

Вычтем первую строку из второй:

 R_2 = R_2 - R_1 = [1, 2, 0, -1 | -6] - [1, 1, -3, 2 | 6] = [0, 1, 3, -3 | -12] 

Оставим третью строку как есть (начинается с 0):

R_3 = [0, 1, 1, 3 | 16]

Вычтем 2 * R₁ из R₄:

 R_4 = R_4 - 2 * R_1 = [2, 3, 2, 0 | 6] - 2 * [1, 1, -3, 2 | 6] = [0, 1, 8, -4 | -6] 

Итак, новая матрица:

 \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & 2 & | & 6 \ 0 & 1 & 3 & -3 & | & -12 \ 0 & 1 & 1 & 3 & | & 16 \ 0 & 1 & 8 & -4 & | & -6 \ \end{bmatrix} 

Этап 2: Обнуляем элементы под и над вторым ведущим элементом (в позиции [2,2])

Пусть R_2 — опорная строка. Нужно обнулить все остальные элементы во 2-м столбце.

• R_3 = R_3 - R_2 = [0, 1, 1, 3 | 16] - [0, 1, 3, -3 | -12] = [0, 0, -2, 6 | 28]
• R_4 = R_4 - R_2 = [0, 1, 8, -4 | -6] - [0, 1, 3, -3 | -12] = [0, 0, 5, -1 | 6]
• R_1 = R_1 - R_2 = [1, 1, -3, 2 | 6] - [0, 1, 3, -3 | -12] = [1, 0, -6, 5 | 18]

Теперь матрица:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & -6 & 5 & | & 18 \ 0 & 1 & 3 & -3 & | & -12 \ 0 & 0 & -2 & 6 & | & 28 \ 0 & 0 & 5 & -1 & | & 6 \ \end{bmatrix} 

Этап 3: Работаем с третьим столбцом (опорный элемент [3,3] = -2)

Сделаем его равным 1: разделим строку на -2:

R_3 = R_3 / (-2) = [0, 0, 1, -3 | -14]

Теперь обнулим элементы в 3-м столбце:

• R_1 = R_1 + 6 * R_3 = [1, 0, -6, 5 | 18] + 6 * [0, 0, 1, -3 | -14] = [1, 0, 0, -13 | -66]
• R_2 = R_2 - 3 * R_3 = [0, 1, 3, -3 | -12] - 3 * [0, 0, 1, -3 | -14] = [0, 1, 0, 6 | 30]
• R_4 = R_4 - 5 * R_3 = [0, 0, 5, -1 | 6] - 5 * [0, 0, 1, -3 | -14] = [0, 0, 0, 14 | 76]

Матрица:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -13 & | & -66 \ 0 & 1 & 0 & 6 & | & 30 \ 0 & 0 & 1 & -3 & | & -14 \ 0 & 0 & 0 & 14 & | & 76 \ \end{bmatrix} 

Этап 4: Работаем с 4-м столбцом (опорный элемент [4,4] = 14)

Сделаем его равным 1: R_4 = R_4 / 14 = [0, 0, 0, 1 | 76/14] = [0, 0, 0, 1 | 38/7]

Теперь обнулим элементы в 4-м столбце:

• R_1 = R_1 + 13 * R_4 = [1, 0, 0, -13 | -66] + 13 * [0, 0, 0, 1 | 38/7] = [1, 0, 0, 0 | -66 + 494/7] = [1, 0, 0, 0 | ( -462 + 494 ) / 7 = 32 / 7]
• R_2 = R_2 - 6 * R_4 = [0, 1, 0, 6 | 30] - 6 * [0, 0, 0, 1 | 38/7] = [0, 1, 0, 0 | 30 - 228/7 = (210 - 228)/7 = -18/7]
• R_3 = R_3 + 3 * R_4 = [0, 0, 1, -3 | -14] + 3 * [0, 0, 0, 1 | 38/7] = [0, 0, 1, 0 | -14 + 114/7 = (-98 + 114)/7 = 16/7]

Финальная матрица:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 32/7 \ 0 & 1 & 0 & 0 & | & -18/7 \ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 16/7 \ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 38/7 \ \end{bmatrix} 

Ответ:

 x_1 = \frac{32}{7}, \quad x_2 = -\frac{18}{7}, \quad x_3 = \frac{16}{7}, \quad x_4 = \frac{38}{7} 

Если нужно, можно записать в десятичной форме:

 x_1 \approx 4.571, \quad x_2 \approx -2.571, \quad x_3 \approx 2.286, \quad x_4 \approx 5.429 

Если есть желание, могу оформить решение в виде таблицы шагов или проверить результат подстановкой.