Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра, системы линейных уравнений, метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений, которую требуется решить методом Гаусса. Однако в условии присутствует путаница в записи уравнений. Давайте сначала перепишем систему уравнений в корректной форме. Предположим, что имелось в виду следующее:

1. x_1 + x_2 + x_3 = 3
2. 2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 7
3. 3x_1 + x_2 + x_3 = 5

Теперь представим систему в виде расширенной матрицы:

 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \ 2 & 3 & 2 & | & 7 \ 3 & 1 & 1 & | & 5 \ \end{bmatrix} 

Применим метод Гаусса (прямой ход + обратный ход).

Шаг 1: Прямой ход

Цель: Преобразовать матрицу к верхнетреугольному виду.

Обнуляем элементы под первым ведущим элементом (в первом столбце).

Первая строка: R_1 = [1, 1, 1 | 3]
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2:

R_2 = R_2 - 2R_1

 R_2 = [2, 3, 2 | 7] - 2 * [1, 1, 1 | 3] = [0, 1, 0 | 1] 

Аналогично, из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3:

R_3 = R_3 - 3R_1

 R_3 = [3, 1, 1 | 5] - 3 * [1, 1, 1 | 3] = [0, -2, -2 | -4] 

Теперь матрица имеет вид:

 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \ 0 & 1 & 0 & | & 1 \ 0 & -2 & -2 & | & -4 \ \end{bmatrix} 

Обнуляем элемент под вторым ведущим элементом (во втором столбце)

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 2:

R_3 = R_3 + 2R_2

 R_3 = [0, -2, -2 | -4] + 2 * [0, 1, 0 | 1] = [0, 0, -2 | -2] 

Теперь матрица имеет вид:

 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \ 0 & 1 & 0 & | & 1 \ 0 & 0 & -2 & | & -2 \ \end{bmatrix} 

Шаг 2: Обратный ход

Теперь выразим переменные начиная с последнего уравнения.

Из третьей строки:
-2x_3 = -2 \Rightarrow x_3 = 1

Из второй строки:
x_2 = 1

Из первой строки:
x_1 + x_2 + x_3 = 3
x_1 + 1 + 1 = 3 \Rightarrow x_1 = 1

Ответ:

x_1 = 1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1

Это решение системы линейных уравнений методом Гаусса.