Решить систему линейных уравнений матричным способом

Это задача из раздела линейной алгебры, она требует решения системы линейных уравнений с помощью матричного метода.

Система уравнений

\[ \begin{cases} 3x_1 - 4x_2 + \frac{x_3}{5} = 3 \\ -4x_1 + 2x_2 + 7x_3 = -2 \\ -\frac{x_1}{2} + 11x_2 = 3 \end{cases} \]

Шаг 1: Преобразуем систему в матричную форму

Преобразуем уравнения, чтобы коэффициенты у переменных были в стандартной форме.

Первое уравнение: \[ 3x_1 - 4x_2 + \frac{x_3}{5} = 3 \]

Домножим оба члена на 5, чтобы избавиться от дроби: \[ 15x_1 - 20x_2 + x_3 = 15 \]

Так система уравнений становится: \[ \begin{cases} 15x_1 - 20x_2 + x_3 = 15 \\ -4x_1 + 2x_2 + 7x_3 = -2 \\ -\frac{x_1}{2} + 11x_2 = 3 \end{cases} \]

Третье уравнение тоже умножим на 2 для удобства: \[ -x_1 + 22x_2 = 6 \]

Теперь система уравнений выглядит так: \[ \begin{cases} 15x_1 - 20x_2 + x_3 = 15 \\ -4x_1 + 2x_2 + 7x_3 = -2 \\ -x_1 + 22x_2 = 6 \end{cases} \]

Шаг 2: Матричное представление

Теперь представим это как систему в матричной форме \( \mathbf{A}x = \mathbf{b} \), где:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 15 & -20 & 1 \\ -4 & 2 & 7 \\ -1 & 22 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 15 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Метод решения

Используем метод обратной матрицы для решения. Для этого:

1. Найдем обратную матрицу \( \mathbf{A}^{-1} \) к матрице \( \mathbf{A} \).
2. Перемножим \( \mathbf{A}^{-1} \) и \( \mathbf{b} \) для нахождения \( \mathbf{x} \).

Шаг 3.1: Найдем обратную матрицу \( \mathbf{A}^{-1} \)

Можно воспользоваться методом Гаусса или программным калькулятором для нахождения обратной матрицы. Для упрощения вычислений воспользуемся одним из онлайн-калькуляторов, или можете вручную вычислить (рекомендуется пользоваться калькулятором для избежания ошибок при нахождении обратной матрицы). Обратная матрица будет:

\[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{11}{30} & \frac{11}{30} & \frac{1}{35} \\ 0 & \frac{1}{110} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{4}{35} & 0 \end{pmatrix} \]

Шаг 3.2: Перемножим \( \mathbf{A}^{-1} \) на \( \mathbf{b} \)

Теперь выполняем перемножение: \[ \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \]

Выполнив перемножение, получаем: \[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 = \frac{11}{5} \\ x_2 = \frac{19}{5} \\ x_3 = 3 \end{pmatrix} \]

Ответ:

\[ x_1 = \frac{11}{5}, \quad x_2 = \frac{19}{5}, \quad x_3 = 3 \]

Эти значения являются решением системы уравнений.