Решить систему линейных уравнений матричным методом, методом Крамера и методом Гаусса

Данное задание относится к системе линейных уравнений, и решение можно найти с помощью трех методов: матричного метода, метода Крамера и метода Гаусса. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих методов.

Система уравнений:

\[ \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 + x_2 - x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = -1 \end{cases} \]

1. Матричный метод (Метод обратной матрицы)

Сначала перепишем систему в матричной форме:

\[ A \cdot X = B \]

где \( A \) — это матрица коэффициентов, \( X \) — вектор неизвестных, а \( B \) — вектор свободных членов.

Запишем матрицу \( A \), вектор \( X \) и вектор \( B \):

• Матрица коэффициентов \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]
• Вектор неизвестных \( X \): \[ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
• Вектор свободных членов \( B \): \[ B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти неизвестные, нужно найти обратную матрицу \( A^{-1} \) и умножить её на \( B \):

\[ X = A^{-1} \cdot B \]

Для нахождения \( A^{-1} \), используем классическую формулу для обратной матрицы. Сначала найдем определитель матрицы \( A \) ( \( det(A) \)):

\[ \det(A) = 3(1\cdot3 - (-1)\cdot2) - 2(3\cdot3 - (-1)\cdot1) + 1(3\cdot2 - 1\cdot1) \]

\[ \det(A) = 3(3 + 2) - 2(9 + 1) + 1(6 - 1) = 3(5) - 2(10) + 1(5) = 15 - 20 + 5 = 0 \]

Поскольку определитель матрицы равен нулю, матрица не является обратимой, и решить систему с помощью матричного метода не получится.

2. Метод Крамера

Метод Крамера использует формулы для нахождения каждого неизвестного через определители.

Определим детерминанты для нахождения \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\).

• \( \Delta \) — это основной определитель и равен определителю матрицы \( A \), который мы уже вычислили: \[ \Delta = \det(A) = 0 \]

Поскольку \( \Delta = 0 \), система уравнений либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений вовсе. Метод Крамера в данном случае также оказывается неприменим.

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных, приводя систему уравнений к треугольному виду, после чего проводится обратный ход для нахождения неизвестных.

Запишем расширенную матрицу системы:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right) \]

Сначала будем исключать переменные, начиная с \( x_1 \).

1. Вычтем из второй строки первую: \[ R_2 = R_2 - R_1 \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right) \]
2. Вычтем из третьей строки первую, предварительно умножив первую строку на \(\frac{1}{3}\): \[ R_3 = R_3 - \frac{1}{3} \cdot R_1 \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3} & -\frac{4}{3} \end{array}\right) \]
3. Приведем коэффициент перед \( x_2 \) в третьей строке к целому числу, умножив третью строку на \(\frac{3}{4}\): \[ R_3 = \frac{3}{4}R_3 \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right) \]
4. Теперь вычтем третью строку из второй, чтобы исключить переменную \( x_2 \) во второй строке: \[ R_2 = R_2 + R_3 \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right) \]

У нас возникла нулевая строка во втором уравнении, что означает, что система имеет бесконечно много решений.

Вывод:

Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.