Решить систему линейных уравнений

На картинке представлено задание по предмету "Алгебра", раздел "Системы линейных уравнений".

Дано систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} 5x - y - z = 0 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 4x + 3y + 2z = 16 \end{cases} \] Решим эту систему методом подстановки или методом Гаусса (прямого исключения).

1. Из первого уравнения выразим \(z\): \[ z = 5x - y \]

2. Подставим это выражение в остальные два уравнения:

• Подставим в \(x + 2y + 3z = 14\): \[ x + 2y + 3(5x - y) = 14 \\ x + 2y + 15x - 3y = 14 \\ 16x - y = 14 \\ \]
• Подставим в \(4x + 3y + 2z = 16\): \[ 4x + 3y + 2(5x - y) = 16 \\ 4x + 3y + 10x - 2y = 16 \\ 14x + y = 16 \\ \]

Таким образом, получили новую систему: \[ \begin{cases} 16x - y = 14 \\ 14x + y = 16 \end{cases} \]

3. Решим эту систему уравнений.

• Складываем два уравнения: \[ 16x - y + 14x + y = 14 + 16 \\ 30x = 30 \\ x = 1 \]
• Подставим \(x = 1\) в одно из уравнений, например, \(14x + y = 16\): \[ 14(1) + y = 16 \\ 14 + y = 16 \\ y = 2 \]

4. Теперь подставим найденные значения \(x\) и \(y\) в выражение для \(z\): \[ z = 5x - y \\ z = 5(1) - 2 \\ z = 3 \]

Таким образом, решение системы: \[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \]