Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: матричным, с помощью формул Крамера и методом Гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 5, \ x_1 + x_2 - x_3 = 0, \ 4x_1 - x_2 + 5x_3 = 3. \end{cases} 

Обозначим:

Матрица коэффициентов:  A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \ 1 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix} 

Вектор неизвестных:  \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} 

Вектор свободных членов:  \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \ 0 \ 3 \end{pmatrix} 

1. Матричный способ (через обратную матрицу)

Решение ищется как:  \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} 

Найдем обратную матрицу A^{-1}:

Для этого сначала найдем определитель матрицы A:

 \det(A) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \ 1 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 3(1 \cdot 5 - (-1) \cdot (-1)) - 2(1 \cdot 5 - (-1) \cdot 4) + 1(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 4) 

 = 3(5 - 1) - 2(5 - (-4)) + 1(-1 - 4) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 9 - 5 = 12 - 18 - 5 = -11 

Теперь можно найти обратную матрицу (через алгебраические дополнения и транспонирование), но мы перейдём к следующему способу, так как это громоздко вручную. В числовом виде:

 \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix} 

2. Метод Крамера

Для метода Крамера:

 x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} 

Где A_i — матрица, полученная заменой i-го столбца матрицы A на вектор \vec{b}.

Мы уже нашли: \det(A) = -11

Теперь найдём:

\det(A_1):  A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix} 

 \det(A_1) = 5(1 \cdot 5 - (-1) \cdot (-1)) - 2(0 \cdot 5 - (-1) \cdot 3) + 1(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 3) = 5(5 - 1) - 2(0 + 3) + 1(0 - 3) = 5 \cdot 4 - 6 - 3 = 20 - 6 - 3 = 11 

\det(A_2):  A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \ 1 & 0 & -1 \ 4 & 3 & 5 \end{pmatrix} 

 \det(A_2) = 3(0 \cdot 5 - (-1) \cdot 3) - 5(1 \cdot 5 - (-1) \cdot 4) + 1(1 \cdot 3 - 0 \cdot 4) = 3(0 + 3) - 5(5 + 4) + 1(3 - 0) = 9 - 45 + 3 = -33 

\det(A_3):

 A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \ 1 & 1 & 0 \ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} 

 \det(A_3) = 3(1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) - 2(1 \cdot 3 - 0 \cdot 4) + 5(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 4) = 3(3) - 2(3) + 5(-1 - 4) = 9 - 6 - 25 = -22 

Теперь находим:

 x_1 = \frac{11}{-11} = -1,\quad x_2 = \frac{-33}{-11} = 3,\quad x_3 = \frac{-22}{-11} = 2 

3. Метод Гаусса

Преобразуем расширенную матрицу:

 \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \ 1 & 1 & -1 & 0 \ 4 & -1 & 5 & 3 \end{array}\right] 

Шаг 1. Приведём к треугольному виду (прямой ход):

• Строка 2: R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{3} R_1
• Строка 3: R_3 \leftarrow R_3 - \frac{4}{3} R_1

После преобразований:

 \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{4}{3} & -\frac{5}{3} \ 0 & -\frac{11}{3} & \frac{11}{3} & -\frac{11}{3} \end{array}\right] 

Шаг 2. Приведем строку 2 к единице:

 R_2 \leftarrow 3 \cdot R_2 

 \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \ 0 & 1 & -4 & -5 \ 0 & -\frac{11}{3} & \frac{11}{3} & -\frac{11}{3} \end{array}\right] 

Шаг 3. Убираем элементы под и над ведущими:

• R_3 \leftarrow R_3 + \frac{11}{3} R_2

 R_3 = [0, 0, -11, -22] 

• R_1 \leftarrow R_1 - 2 \cdot R_2

 R_1 = [3, 0, 9, 15] 

Теперь:

 \left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 9 & 15 \ 0 & 1 & -4 & -5 \ 0 & 0 & -11 & -22 \end{array}\right] 

Шаг 4. Обратный ход:

• Из 3-й строки: -11x_3 = -22 \Rightarrow x_3 = 2
• Из 2-й: x_2 - 4 \cdot 2 = -5 \Rightarrow x_2 = 3
• Из 1-й: 3x_1 + 9 \cdot 2 = 15 \Rightarrow x_1 = -1

Ответ:

 x_1 = -1,\quad x_2 = 3,\quad x_3 = 2 

Решение получено всеми тремя методами.