Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами:а) по правилу Крамера;б) матричным методом;в) методом Гаусса.

Условие:

Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

Решение:

### Задание: Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: **Система уравнений:** \[ \begin{cases} x + 2y + 2 = 6 \\ 2x - 3y - 2z = -6 \\ x + 5y + 2 = 12 \end{cases} \] ### Приведём систему уравнений в стандартный вид: \[ \begin{cases} x + 2y + 0z = 4 \\ 2x - 3y - 2z = -6 \\ x + 5y + 0z = 10 \end{cases} \] --- ### 1. Решение по **правилу Крамера** Для решения системы уравнений по правилу Крамера нам нужно найти определители: основной определитель системы \(\Delta\) и определители \(\Delta_x\), \(\Delta_y\), \(\Delta_z\), которые получаются заменой столбца переменных на столбец свободных членов. #### Основной определитель \(\Delta\): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -2 \\ 1 & 5 & 0 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \] \[ = 1 \cdot ((-3) \cdot 0 - (-2) \cdot 5) - 2 \cdot (2 \cdot 0 - (-2) \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot (10) - 2 \cdot (-2) = 10 + 4 = 14 \] #### Определитель \(\Delta_x\): Заменим первый столбец на столбец свободных членов \([4, -6, 10]\): \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 0 \\ -6 & -3 & -2 \\ 10 & 5 & 0 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \Delta_x = 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -6 & -2 \\ 10 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & -3 \\ 10 & 5 \end{vmatrix} \] \[ = 4 \cdot ((-3) \cdot 0 - (-2) \cdot 5) - 2 \cdot ((-6) \cdot 0 - (-2) \cdot 10) \] \[ = 4 \cdot 10 - 2 \cdot 20 = 40 - 40 = 0 \] #### Определитель \(\Delta_y\): Заменим второй столбец на столбец свободных членов \([4, -6, 10]\): \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & -6 & -2 \\ 1 & 10 & 0 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \Delta_y = 1 \cdot \begin{vmatrix} -6 & -2 \\ 10 & 0 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 1 & 10 \end{vmatrix} \] \[ = 1 \cdot ((-6) \cdot 0 - (-2) \cdot 10) - 4 \cdot (2 \cdot 0 - (-2) \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot 20 - 4 \cdot 2 = 20 - 8 = 12 \] #### Определитель \(\Delta_z\): Заменим третий столбец на столбец свободных членов \([4, -6, 10]\): \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & -6 \\ 1 & 5 & 10 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \Delta_z = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -6 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 1 & 10 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \] \[ = 1 \cdot ((-3) \cdot 10 - (-6) \cdot 5) - 2 \cdot (2 \cdot 10 - (-6) \cdot 1) + 4 \cdot (2 \cdot 5 - (-3) \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot (-30 + 30) - 2 \cdot (20 + 6) + 4 \cdot (10 + 3) = 0 - 2 \cdot 26 + 4 \cdot 13 \] \[ = 0 - 52 + 52 = 0 \] #### Найдём решение: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{0}{14} = 0 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \] \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{0}{14} = 0 \] Таким образом, решение системы: \[ x = 0, \quad y = \frac{6}{7}, \quad z = 0 \] --- ### 2. Решение матричным методом #### Представим систему в матричной форме: Система уравнений представляется в виде: \[ A \cdot X = B, \] где: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -2 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 10 \end{pmatrix}. \] Решение матричным методом заключается в нахождении неизвестного вектора \(X\) по формуле: \[ X = A^{-1} \cdot B, \] где \(A^{-1}\) — это обратная матрица матрицы \(A\). Теперь нужно вычислить обратную матрицу \(A^{-1}\).