Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Условие:

Решить систему линейных алгебраических уравнений в) методом Гаусса.

Решение:

### Задание Требуется решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Запишем систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x - 3y - 2z = -6 \\ x + 5y + z = 12 \end{cases} \] ### Этап 1: Составление расширенной матрицы системы Для метода Гаусса составим расширенную матрицу системы. Каждое уравнение переводится в строку матрицы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 6 \\ 2 & -3 & -2 & | & -6 \\ 1 & 5 & 1 & | & 12 \end{pmatrix} \] Теперь используем элементарные преобразования строк для приведения матрицы к верхнетреугольному виду. ### Этап 2: Приведение к треугольному виду 1. **Приведение первой строки:** Первая строка уже начинается с единицы, поэтому никаких изменений не нужно. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 6 \\ 2 & -3 & -2 & | & -6 \\ 1 & 5 & 1 & | & 12 \end{pmatrix} \] 2. **Обнуление второго и третьего элементов первого столбца:** Чтобы обнулить второй элемент во втором уравнении (2), вычтем из второй строки первую, умноженную на 2: \[ L_2 = L_2 - 2L_1 \] \[ L_2 = (2, -3, -2, -6) - 2 \cdot (1, 2, 1, 6) = (2 - 2 \cdot 1, -3 - 2 \cdot 2, -2 - 2 \cdot 1, -6 - 2 \cdot 6) = (0, -7, -4, -18) \] Чтобы обнулить элемент в третьей строке (1), вычтем из третьей строки первую: \[ L_3 = L_3 - L_1 \] \[ L_3 = (1, 5, 1, 12) - (1, 2, 1, 6) = (0, 3, 0, 6) \] Получаем обновленную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 6 \\ 0 & -7 & -4 & | & -18 \\ 0 & 3 & 0 & | & 6 \end{pmatrix} \] 3. **Обнуление элемента в третьей строке:** Чтобы обнулить второй элемент в третьей строке (3), нужно третью строку прибавить к второй строке, умноженной на подходящее число: \[ L_3 = L_3 + \frac{3}{-7} \cdot L_2 \] ### Этап 3: Обратный ход