Решить систему линейных алгебраических уравнений

Предмет и раздел: Алгебра, системы линейных уравнений.

Условие задачи:

Решим систему линейных алгебраических уравнений:

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3, \\ x_1 + x_3 = -1, \\ 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 2. \end{cases} \]

Решение:

1. Обозначим систему:

\[ \begin{aligned} 1) \ & x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3, \\ 2) \ & x_1 + x_3 = -1, \\ 3) \ & 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 2. \end{aligned} \]

Шаг 1: Выразим \(x_1\) из второго уравнения:

С второго уравнения:

\[ x_1 = -1 - x_3. \tag{4} \]

Шаг 2: Подставим \(x_1 = -1 - x_3\) в первое и третье уравнения.

Подставим в первое уравнение:

\[ (-1 - x_3) + 2x_2 + 3x_3 = 3. \]

Упростим:

\[ -1 - x_3 + 2x_2 + 3x_3 = 3, \]
\[ 2x_2 + 2x_3 = 4. \tag{5} \]

Подставим в третье уравнение:

\[ 2(-1 - x_3) + 2x_2 - x_3 = 2. \]

Упростим:

\[ -2 - 2x_3 + 2x_2 - x_3 = 2, \]
\[ 2x_2 - 3x_3 = 4. \tag{6} \]

Шаг 3: Решим систему из двух уравнений (5) и (6):

\[ \begin{cases} 2x_2 + 2x_3 = 4, \\ 2x_2 - 3x_3 = 4. \end{cases} \]

Выразим \(x_2\) из первого уравнения:

\[ 2x_2 = 4 - 2x_3, \]
\[ x_2 = 2 - x_3. \tag{7} \]

Подставим \(x_2 = 2 - x_3\) во второе уравнение:

\[ 2(2 - x_3) - 3x_3 = 4. \]

Упростим:

\[ 4 - 2x_3 - 3x_3 = 4, \]
\[ -5x_3 = 0, \quad x_3 = 0. \tag{8} \]

Шаг 4: Найдем \(x_2\) и \(x_1\):

Подставим \(x_3 = 0\) в (7):

\[ x_2 = 2 - 0 = 2. \tag{9} \]

\[ x_1 = -1 - 0 = -1. \tag{10} \]

Ответ:

\[ x_1 = -1, \, x_2 = 2, \, x_3 = 0. \]

Подставим \(x_3 = 0\) в (4):