Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса.

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса.

Пример 1:

Дана система линейных уравнений

Решить систему трем способами:
а) Метод Крамера;
б) матричным методом;
в) Метод Гаусса.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решить систему уравнений тремя способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса и методом Крамера.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса:

█(x_1+(M+4)x_2+3x_3-Nx_4=16@12x_1+(N-2)x_2-2x_3-3x_4=8@x_1+2x_2-2Nx_3+x_4=1@(N+1)x_1-3x_2+x_3-Mx_4=8)┤

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Метод Крамера

Запишем систему в виде:

A =

1	1	-1
8	3	-6
-4	-1	3

B^T = (2,-4,5)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 1*(3*3-(-1)*(-6))-8*(1*3-(-1)*(-1))+(-4)*(1*(-6)-3*(-1)) = -1
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.

2	1	-1
-4	3	-6
5	-1	3

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*(3*3-(-1)*(-6))-(-4)*(1*3-(-1)*(-1))+5*(1*(-6)-3*(-1)) = -1
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20\frac%7b\Delta%20_%7b1%7d%7d%7b\Delta%20%7d%20=%20\frac%7b-1%7d%7b-1%7d%20=%201$
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.

1	2	-1
8	-4	-6
-4	5	3

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*((-4)*3-5*(-6))-8*(2*3-5*(-1))+(-4)*(2*(-6)-(-4)*(-1)) = -6
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b2%7d%20=%20\frac%7b\Delta%20_%7b2%7d%7d%7b\Delta%20%7d%20=%20\frac%7b-6%7d%7b-1%7d%20=%206$
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.

1	1	2
8	3	-4
-4	-1	5

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*(3*5-(-1)*(-4))-8*(1*5-(-1)*2)+(-4)*(1*(-4)-3*2) = -5
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b3%7d%20=%20\frac%7b\Delta%20_%7b3%7d%7d%7b\Delta%20%7d%20=%20\frac%7b-5%7d%7b-1%7d%20=%205$
Выпишем отдельно найденные переменные Х
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20\frac%7b\Delta%20_%7b1%7d%7d%7b\Delta%20%7d%20=%20\frac%7b-1%7d%7b-1%7d%20=%201$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b2%7d%20=%20\frac%7b\Delta%20_%7b2%7d%7d%7b\Delta%20%7d%20=%20\frac%7b-6%7d%7b-1%7d%20=%206$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b3%7d%20=%20\frac%7b\Delta%20_%7b3%7d%7d%7b\Delta%20%7d%20=%20\frac%7b-5%7d%7b-1%7d%20=%205$
Проверка.
1*1+1*6-1*5 = 2
8*1+3*6-6*5 = -4
-4*1-1*6+3*5 = 5

Метод обратной матрицы

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

1	1	-1
8	3	-6
-4	-1	3

Вектор B:
B^T=(2,-4,5)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=1•(3•3-(-1•(-6)))-8•(1•3-(-1•(-1)))+(-4•(1•(-6)-3•(-1)))=-1
Итак, определитель -1 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:

a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₃

Тогда:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A%5e%7b-1%7d%20=%20\frac%7b1%7d%7b\Delta%20%7d$

A₁₁	A₂₁	A₃₁
A₁₂	A₂₂	A₃₂
A₁₃	A₂₃	A₃₃

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

A^T=

1	8	-4
1	3	-1
-1	-6	3

Вычисляем алгебраические дополнения.

A^T_1,1=(-1)¹⁺¹

3	-1
-6	3

∆_1,1=(3•3-(-6•(-1)))=3

A^T_1,2=(-1)¹⁺²

1	-1
-1	3

∆_1,2=-(1•3-(-1•(-1)))=-2

A^T_1,3=(-1)¹⁺³

1	3
-1	-6

∆_1,3=(1•(-6)-(-1•3))=-3

A^T_2,1=(-1)²⁺¹

8	-4
-6	3

∆_2,1=-(8•3-(-6•(-4)))=0

A^T_2,2=(-1)²⁺²

1	-4
-1	3

∆_2,2=(1•3-(-1•(-4)))=-1

A^T_2,3=(-1)²⁺³

1	8
-1	-6

∆_2,3=-(1•(-6)-(-1•8))=-2

A^T_3,1=(-1)³⁺¹

8	-4
3	-1

∆_3,1=(8•(-1)-3•(-4))=4

A^T_3,2=(-1)³⁺²

1	-4
1	-1

∆_3,2=-(1•(-1)-1•(-4))=-3

A^T_3,3=(-1)³⁺³

1	8
1	3

∆_3,3=(1•3-1•8)=-5
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

3	-2	-3
0	-1	-2
4	-3	-5

Вычислим обратную матрицу:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A%5e%7b-1%7d=\frac%7b1%7d%7b-1%7d$

3	-2	-3
0	-1	-2
4	-3	-5

Вектор результатов X
X=A^-1 • B

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X=\frac%7b1%7d%7b-1%7d$

3	-2	-3
0	-1	-2
4	-3	-5

-4

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X=\frac%7b1%7d%7b-1%7d$

(3*2)+(-2(-4))+(-3*5)

(0*2)+(-1(-4))+(-2*5)

(4*2)+(-3(-4))+(-5*5)

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X=\frac%7b1%7d%7b-1%7d$

-1

-6

-5

X^T=(1,6,5)
x₁=^-1 / _(-1)=1
x₂=^-6 / _(-1)=6
x₃=^-5 / _(-1)=5
Проверка.
1•1+1•6-1•5=2
8•1+3•6-6•5=-4
-4•1-1•6+3•5=5

Метод Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1	1	-1
8	3	-6
-4	-1	3

-4

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

8	3	-6
-4	-1	3
1	1	-1

-4

Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ю строку на (k = 1 / 4 = ¹/₄) и добавим к 3-й:

8	3	-6	-4
-4	-1	3	5
0	³/₄	^-1/₄	¹³/₄

Умножим 1-ю строку на (k = 4 / 8 = ¹/₂) и добавим к 2-й:

8	3	-6	-4
0	¹/₂	0	3
0	³/₄	^-1/₄	¹³/₄

Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ю строку на (k = -³/₄ / ¹/₂ = ^-3/₂) и добавим к 3-й:

8	3	-6	-4
0	¹/₂	0	3
0	0	^-1/₄	^-5/₄

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1	³/₈	^-3/₄
0	1	0
0	0	1

^-1/₂

Теперь исходную систему можно записать как:
x₁ = ^-1/₂ - (³/₈x₂ - ³/₄x₃)
x₂ = 6
x₃ = 5
Из 3-ой строки выражаем x₃
x₃ = 5
Из 2-ой строки выражаем x₂
x₂ = 6 = 6
Из 1-ой строки выражаем x₁
x₁ = ^-1/₂ - ³/₈*6 - (^-3/₄)*5 = 1

Пример 5:

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Сравнить полученные результаты.

6x₁ + 2x₂ – 3x₃ = 5

x₁ + x₃ = 2

5x₁ + x₂ – 4x₃ = 2

Решение от преподавателя:

А) метод Крамера

6x₁ + 2x₂ – 3x₃ = 5

x₁ + x₃ = 2

5x₁ + x₂ – 4x₃ = 2

∆ =

6	2	-3
1	0	1
5	1	-4

∆₁ =

5	2	-3
2	0	1
2	1	-4

∆₂ =

6	5	-3
1	2	1
5	2	-4

∆₃ =

6	2	5
1	0	2
5	1	2

x₁ =	∆₁	=	9	=	1
	∆		9

x₂ =	∆₂	=	9	=	1
	∆		9

x₃ =	∆₃	=	9	=	1
	∆		9

Ответ:

	x₁ = 1
	x₂ = 1
	x₃ = 1

Б) Метод Гаусса

6x₁ + 2x₂ – 3x₃ = 5

x₁ + x₃ = 2

5x₁ + x₂ – 4x₃ = 2

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

6	2	-3	5
1	0	1	2
5	1	-4	2

1-ую строку делим на 6

1	1/3	-0.5	5/6
1	0	1	2
5	1	-4	2

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 1; 5

1	1/3	-0.5	5/6
0	-1/3	1.5	7/6
0	-2/3	-1.5	-13/6

2-ую строку делим на -1/3

1	1/3	-0.5	5/6
0	1	-4.5	-3.5
0	-2/3	-1.5	-13/6

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1/3; -2/3

1	0	1	2
0	1	-4.5	-3.5
0	0	-4.5	-4.5

3-ую строку делим на -4.5

1	0	1	2
0	1	-4.5	-3.5
0	0	1	1

от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -4.5

1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	1	1

Ответ:

	x₁ = 1
	x₂ = 1
	x₃ = 1

Пример 6:

Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы, методом последовательного исключения переменных Гаусса (Жордана-Гаусса). Сделать проверку полученного решения.