Решить систему линейных уравнений (метод Крамера или метод Гаусса )

Пример 1:

Найти решение системы методом Крамера: 

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде:

A =	10 1 4 1 -2 -7 2 1 5

B^T = (1,-3,0)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 10*((-2)*5-1*(-7))-1*(1*5-1*4)+2*(1*(-7)-(-2)*4) = -29
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	1	4
-3	-2	-7
0	1	5

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*((-2)*5-1*(-7))-(-3)*(1*5-1*4)+0*(1*(-7)-(-2)*4) = 0

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

10	1	4
1	-3	-7
2	0	5

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 10*((-3)*5-0*(-7))-1*(1*5-0*4)+2*(1*(-7)-(-3)*4) = -145

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

10	1	1
1	-2	-3
2	1	0

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 10*((-2)*0-1*(-3))-1*(1*0-1*1)+2*(1*(-3)-(-2)*1) = 29

Выпишем отдельно найденные переменные Х



Проверка.
10*0+1*5+4*(-1) = 1
1*0-2*5-7*(-1) = -3
2*0+1*5+5*(-1) = 0

Пример 2:

Решить систему линейных уравнений  (метод Крамера или метод Гаусса )

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

2 3 1 1 -1 -1 5 2 4

B^T = (6,1,11) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 2*((-1)*4-2*(-1))-1*(3*4-2*1)+5*(3*(-1)-(-1)*1) = -24 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

6	3	1
1	-1	-1
11	2	4

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 6*((-1)*4-2*(-1))-1*(3*4-2*1)+11*(3*(-1)-(-1)*1) = -44 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	6	1
1	1	-1
5	11	4

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*(1*4-11*(-1))-1*(6*4-11*1)+5*(6*(-1)-1*1) = -18 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	3	6
1	-1	1
5	2	11

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 2*((-1)*11-2*1)-1*(3*11-2*6)+5*(3*1-(-1)*6) = -2 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений

по формулам Крамера и методом Гаусса. Сравнить полученные результаты.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решить систему уравнений с помощью формул Крамера.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

Решение от преподавателя:

Находим определитель матрицы системы:

В определителе матрицы системы последовательно меняем 1-й, 2-й, 3-й столбцы на столбец свободных членов и находим полученные определители:

Решение системы:

Ответ: (6; 2; - 4).

Пример 7:

Решить систему линейных уравнений  (метод Крамера или метод Гаусса )

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

BT = (7,3,4) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 2*(3*(-3)-(-2)*(-1))-7*((-1)*(-3)-(-2)*4)+5*((-1)*(-1)-3*4) = -154 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

 

7	-1	4
3	3	-1
4	-2	-3

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 7*(3*(-3)-(-2)*(-1))-3*((-1)*(-3)-(-2)*4)+4*((-1)*(-1)-3*4) = -154 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	7	4
7	3	-1
5	4	-3

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(3*(-3)-4*(-1))-7*(7*(-3)-4*4)+5*(7*(-1)-3*4) = 154 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

2	-1	7
7	3	3
5	-2	4

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(3*4-(-2)*3)-7*((-1)*4-(-2)*7)+5*((-1)*3-3*7) = -154 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 

Ответ:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

а)

 

Ответ:X=1

Y=1

Z=1

б)

Из вышеизложенной таблицы следует:

X=1

Y=1

Z=1

Пример 9:

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решить сиситему методом Крамера и сдеать проверку:

Решение от преподавателя:

Запишем систему в виде: 

A =

1 5 1 -2 3 -1 3 1 1

B^T = (3,-2,1) 
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. 
Определитель: 
∆ = 1*(3*1-1*(-1))-(-2)*(5*1-1*1)+3*(5*(-1)-3*1) = -12 
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

3	5	1
-2	3	-1
1	1	1

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(3*1-1*(-1))-(-2)*(5*1-1*1)+1*(5*(-1)-3*1) = 12 

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

1	3	1
-2	-2	-1
3	1	1

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*((-2)*1-1*(-1))-(-2)*(3*1-1*1)+3*(3*(-1)-(-2)*1) = 0 

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. 

1	5	3
-2	3	-2
3	1	1

Найдем определитель полученной матрицы. 
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 1*(3*1-1*(-2))-(-2)*(5*1-1*3)+3*(5*(-2)-3*3) = -48 

Выпишем отдельно найденные переменные Х 



Проверка. 
1*(-1)+5*0+1*4 = 3 
-2*(-1)+3*0-1*4 = -2 
3*(-1)+1*0+1*4 = 1