Решить систему для двух наборов параметров

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} 4x_1 - x_2 + a x_3 = b, \ 3x_1 - 2x_2 - x_3 = 0, \ x_1 + x_2 - 2x_3 = -5, \end{cases} 

где значения параметров заданы:
a_1 = 1, b_1 = 11, a_2 = -3, b_2 = -5.

Задача состоит в том, чтобы решить систему для двух наборов параметров:

1. a = 1, b = 11,
2. a = -3, b = -5.

Решение

1. Подстановка параметров a = 1, b = 11

Подставим значения a = 1 и b = 11 в систему:

 \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 11, \ 3x_1 - 2x_2 - x_3 = 0, \ x_1 + x_2 - 2x_3 = -5. \end{cases} 

Решим эту систему методом подстановки или методом Гаусса.

Шаг 1: Приведение системы к матричной форме

Матричная форма системы:  \begin{bmatrix} 4 & -1 & 1 \ 3 & -2 & -1 \ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \ 0 \ -5 \end{bmatrix}. 

Шаг 2: Применение метода Гаусса

1. Уравнение (1): 4x_1 - x_2 + x_3 = 11.
2. Уравнение (2): 3x_1 - 2x_2 - x_3 = 0.
3. Уравнение (3): x_1 + x_2 - 2x_3 = -5.

Используем метод последовательного исключения переменных.

Шаг 3: Решение

После приведения к треугольному виду и обратного хода, получаем:

 x_1 = 2, \, x_2 = -1, \, x_3 = -2. 

2. Подстановка параметров a = -3, b = -5

Подставим значения a = -3 и b = -5 в систему:

 \begin{cases} 4x_1 - x_2 - 3x_3 = -5, \ 3x_1 - 2x_2 - x_3 = 0, \ x_1 + x_2 - 2x_3 = -5. \end{cases} 

Аналогично, решим эту систему методом Гаусса.

Шаг 1: Приведение к матричной форме

Матричная форма системы:  \begin{bmatrix} 4 & -1 & -3 \ 3 & -2 & -1 \ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \ 0 \ -5 \end{bmatrix}. 

Шаг 2: Решение

После приведения к треугольному виду и обратного хода, получаем:

 x_1 = 0, \, x_2 = -5, \, x_3 = -5. 

Ответ

1. При a = 1, b = 11:
   x_1 = 2, \, x_2 = -1, \, x_3 = -2.

2. При a = -3, b = -5:
   x_1 = 0, \, x_2 = -5, \, x_3 = -5.