Решить несколько подзадач, используя операции с векторами

Задание относится к разделу аналитической геометрии и векторной алгебры (предмет — математика).

Нам даны два вектора: \[ \vec{a} = (4; -2; -4) \quad \text{и} \quad \vec{b} = (6; -3; 2) \] Необходимо решить несколько подзадач, используя операции с векторами (скалярное произведение, направление векторов и т.д.).

Пункт (а): a · b (скалярное произведение векторов)

Формула скалярного произведения: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \]

Подставим значения компонент векторов \(\vec{a} = (4; -2; -4)\) и \(\vec{b} = (6; -3; 2)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 6 + (-2) \cdot (-3) + (-4) \cdot 2 = 24 + 6 - 8 = 22 \]

Ответ: \[ a) \ \vec{a} \cdot \vec{b} = 22 \]

Пункт (б): \( (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \)

Сначала найдём выражения для \(2\vec{a} - 3\vec{b}\) и \(\vec{a} + 2\vec{b}\): \[ 2\vec{a} = (2 \cdot 4, 2 \cdot -2, 2 \cdot -4) = (8, -4, -8) \] \[ 3\vec{b} = (3 \cdot 6, 3 \cdot -3, 3 \cdot 2) = (18, -9, 6) \] \[ 2\vec{a} - 3\vec{b} = (8, -4, -8) - (18, -9, 6) = (8 - 18, -4 - (-9), -8 - 6) = (-10, 5, -14) \] \[ \vec{a} + 2\vec{b} = (4, -2, -4) + (12, -6, 4) = (4 + 12, -2 + (-6), -4 + 4) = (16, -8, 0) \]

Теперь найдём их скалярное произведение: \[ (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (-10) \cdot 16 + 5 \cdot (-8) + (-14) \cdot 0 = -160 - 40 + 0 = -200 \]

Ответ: \[ б) \ -200 \]

Пункт (в): \( (\vec{a} - \vec{b})^2 \)

Здесь используется квадрат длины вектора: \[ (\vec{a} - \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \]

Вычислим \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ \vec{a} - \vec{b} = (4, -2, -4) - (6, -3, 2) = (4 - 6, -2 - (-3), -4 - 2) = (-2, 1, -6) \]

Теперь найдём скалярное произведение \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})\): \[ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (-2)^2 + 1^2 + (-6)^2 = 4 + 1 + 36 = 41 \]

Ответ: \[ в) \ 41 \]

Пункт (г): \( |\vec{2a} - \vec{b}| \)

Это означает нахождение длины вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\). Мы уже вычислили \(2\vec{a} = (8, -4, -8)\) и \(\vec{b} = (6, -3, 2)\), соответственно: \[ 2\vec{a} - \vec{b} = (8, -4, -8) - (6, -3, 2) = (2, -1, -10) \]

Теперь найдём модуль этого вектора: \[ |\vec{2a} - \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 1 + 100} = \sqrt{105} \]

Ответ: \[ г) \ \sqrt{105} \]

Пункт (д): Направление вектора \(\vec{a}\)

Это единичный вектор, совпадающий с направлением вектора \(\vec{a}\). Формула единичного вектора: \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \]

Сначала найдём длину \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]

Теперь найдём единичный вектор: \[ \hat{a} = \frac{(4, -2, -4)}{6} = \left( \frac{4}{6}, \frac{-2}{6}, \frac{-4}{6} \right) = \left( \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right) \]

Ответ: \[ д) \ \left( \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right) \]

Пункт (е): \( \cos(\vec{a}, \vec{b}) \)

Формула для косинуса угла между векторами: \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

Мы уже нашли скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 22\), длина |\vec{a}| = 6. Теперь найдём длину вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \]

Теперь найдём косинус угла между векторами: \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{22}{6 \cdot 7} = \frac{22}{42} = \frac{11}{21} \]

Ответ: \[ е) \ \frac{11}{21} \]

Ответы:

• а) \(22\)
• б) \(-200\)
• в) \(41\)
• г) \(\sqrt{105}\)
• д) \(\left( \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \right)\)
• е) \(\frac{11}{21}\)