Решить методом Жордана гаусса

Условие:

Решите методам Жордана гаусса

Решение:

Предмет: Алгебра Раздел: Системы линейных уравнений Сначала представим систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы: \[ \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 & 12 & | & 33 \\ 4 & 7 & -2 & 17 & | & 45 \end{pmatrix} \] Применим метод Гаусса-Жордана для решения этой системы. **Шаг 1: Приведение первого элемента первой строки к 1.** Для этого первую строку разделим на 3: \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & 4 & | & 11 \\ 4 & 7 & -2 & 17 & | & 45 \end{pmatrix} \] **Шаг 2: Обнуление первого элемента второй строки.** Для этого из второй строки вычтем 4 умноженной на первую строку: \[ R2 = R2 - 4R1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & 4 & | & 11 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 7 - 4 \cdot \frac{5}{3} & -2 - 4 \cdot (-\frac{1}{3}) & 17 - 4 \cdot 4 & 45 - 4 \cdot 11 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & 4 & | & 11 \\ 0 & 7 - \frac{20}{3} & -2 + \frac{4}{3} & 17 - 16 & 45 - 44 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & 4 & | & 11 \\ 0 & \frac{21}{3} - \frac{20}{3} & -2 + \frac{4}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & 4 & | & 11 \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix} \] **Шаг 3: Приведение второго элемента второй строки к 1.** Для этого умножим вторую строку на 3: \[ R2 = 3R2 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & 4 & | & 11 \\ 0 & 1 & -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] **Шаг 4: Обнуление второго элемента первой строки.** Для этого вычтем из первой строки \(\frac{5}{3}\) умноженной на вторую строку: \[ R1 = R1 - \frac{5}{3}R2 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} + \frac{10}{3} & 4 - 5 & 11 - 5 \\ 0 & 1 & -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{9}{3} & -1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] Теперь матрица находится в приведенной ступенчатой форме. Мы можем записать систему уравнений по матрице: \[ x_1 + 3x_3 - x_4 = 6 \] \[ x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 3 \] Эта система имеет бесконечное множество решений, где \( x_3 \) и \( x_4 \) являются свободными переменными. Напишем решения \( x_1 \) и \( x_2 \) в зависимости от \( x_3 \) и \( x_4 \): \[ x_1 = 6 - 3x_3 + x_4 \] \[ x_2 = 3 + 2x_3 - 3x_4 \] Таким образом, решения системы имеют вид: \[ \begin{cases} x_1 = 6 - 3x_3 + x_4 \\ x_2 = 3 + 2x_3 - 3x_4 \\ x_3 = x_3 \\ x_4 = x_4 \end{cases} \] Это и есть общее решение данной системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.