Решить методом Крамера без скрытых символов

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Дана система уравнений:

 \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 3, \ x_1 + 3x_3 = 4, \ 5x_2 - x_3 = 4. \end{cases} 

1. Запишем матрицу коэффициентов и определитель

Матрица коэффициентов:
 A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 3 \ 0 & 5 & -1 \end{bmatrix} 

Найдем определитель \det(A):

 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 3 \ 0 & 5 & -1 \end{vmatrix} \end{formula} Разложим по первому столбцу: \det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 0 & -1 \end{vmatrix} \end{formula} Вычислим миноры: \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-1) - 3 \cdot 5) = -15 

 \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 0 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) - 3 \cdot 0) = -1 

Подставляем:

 \det(A) = 2 \cdot (-15) - 1 \cdot (-1) = -30 + 1 = -29 

Так как \det(A) \neq 0, система имеет единственное решение.

2. Найдем x_1, x_2 и x_3

Найдем \det(A_1)

Матрица A_1 заменяется первым столбцом на столбец свободных членов:

 A_1 = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \ 4 & 0 & 3 \ 4 & 5 & -1 \end{bmatrix} 

Определитель:

 \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \ 4 & 0 & 3 \ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \end{formula} Разложим по первому столбцу: \det(A_1) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 5 & 5 \end{vmatrix} \end{formula} Рассчитаем миноры: \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} = -15 

 \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 5 = -16 

 \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 5 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 0 \cdot 5 = 5 

Подставляем:

 \det(A_1) = 3 \cdot (-15) - 4 \cdot (-16) + 4 \cdot 5 = -45 + 64 + 20 = 39 

Находим x_1:

 x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{39}{-29} = -\frac{39}{29} 

Найдем \det(A_2)

Матрица A_2 заменяется вторым столбцом:

 A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \ 1 & 4 & 3 \ 0 & 4 & -1 \end{bmatrix} 

Определитель:

 \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \ 1 & 4 & 3 \ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix} \end{formula} Разложим по первому столбцу: \det(A_2) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \ 4 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 4 & -1 \end{vmatrix} \end{formula} Рассчитаем миноры: \begin{vmatrix} 4 & 3 \ 4 & -1 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -4 - 12 = -16 

 \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 4 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 0 \cdot 4 = -3 

Подставляем:

 \det(A_2) = 2 \cdot (-16) - 1 \cdot (-3) = -32 + 3 = -29 

Находим x_2:

 x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-29}{-29} = 1 

Найдем \det(A_3)

Матрица A_3 заменяется третьим столбцом:

 A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & 4 \ 0 & 5 & 4 \end{bmatrix} 

Определитель:

 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & 4 \ 0 & 5 & 4 \end{vmatrix} 

Разложим по первому столбцу:

 \det(A_3) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \ 5 & 4 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \ 0 & 4 \end{vmatrix} \end{formula} Рассчитаем миноры: \begin{vmatrix} 0 & 4 \ 5 & 4 \end{vmatrix} = 0 \cdot 4 - 4 \cdot 5 = -20 

 \begin{vmatrix} 1 & 4 \ 0 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 4 \cdot 0 = 4 

Подставляем:

 \det(A_3) = 2 \cdot (-20) - 1 \cdot 4 = -40 - 4 = -44 

Находим x_3:

 x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-44}{-29} = \frac{44}{29} 

Ответ:

 x_1 = -\frac{39}{29}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{44}{29}