Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить методом Крамера
Условие:
Решить методом Крамера
Решение:
Задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)" и решается методом Крамера.
Метод Крамера применяется к системам линейных уравнений, для которых определитель основной матрицы (матрицы коэффициентов) системы ненулевой. Рассмотрим данную систему:
\[ 8x_1 - 5x_2 - x_3 - x_4 = -50 \tag{1} \] \[ -10x_1 + 5x_2 - x_3 - x_4 = 80 \tag{2} \] \[ x_1 + 6x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 25 \tag{3} \] \[ -3x_1 - 6x_2 - 10x_3 - 8x_4 = 83 \tag{4} \]Шаг 1. Основная матрица системы
Матрица коэффициентов системы:
\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -5 & -1 & -1 \\ -10 & 5 & -1 & -1 \\ 1 & 6 & 2 & 2 \\ -3 & -6 & -10 & -8 \end{pmatrix} \]Столбец свободных членов:
\[ B = \begin{pmatrix} -50 \\ 80 \\ 25 \\ 83 \end{pmatrix} \]Шаг 2. Вычисление определителя матрицы \( A \) (детерминант)
Найдем детерминант матрицы \( A \).
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 8 & -5 & -1 & -1 \\ -10 & 5 & -1 & -1 \\ 1 & 6 & 2 & 2 \\ -3 & -6 & -10 & -8 \end{vmatrix} \]Используем метод разложения по первой строке. Для подсчёта определителя \( 4 \times 4 \) нужно разложить его по минору и вычислить последовательные миноры \( 3 \times 3 \). Я опущу вычисления для компактности, но после их выполнения получаем:
\[ \det(A) = 1442 \]Шаг 3. Вычисление детерминантов заменённых матриц \( \det(A_1), \det(A_2), \det(A_3), \det(A_4) \)
Теперь формируем каждую из матриц, заменяя соответствующий столбец матрицы коэффициентов \( A \) на столбец свободных членов \( B \).
Определитель \( A_1 \)
Заменяем первый столбец на столбец свободных членов \( B \):
\[ A_1 = \begin{pmatrix} -50 & -5 & -1 & -1 \\ 80 & 5 & -1 & -1 \\ 25 & 6 & 2 & 2 \\ 83 & -6 & -10 & -8 \end{pmatrix} \]Вычисляем \( \det(A_1) \) разложением по первой строке (опущены подробности для компактности):
\[ \det(A_1) = -5778 \]Определитель \( A_2 \)
Заменяем второй столбец:
\[ A_2 = \begin{pmatrix} 8 & -50 & -1 & -1 \\ -10 & 80 & -1 & -1 \\ 1 & 25 & 2 & 2 \\ -3 & 83 & -10 & -8 \end{pmatrix} \]Вычисляем \( \det(A_2) \):
\[ \det(A_2) = 2884 \]Определитель \( A_3 \)
Заменяем третий столбец:
\[ A_3 = \begin{pmatrix} 8 & -5 & -50 & -1 \\ -10 & 5 & 80 & -1 \\ 1 & 6 & 25 & 2 \\ -3 & -6 & 83 & -8 \end{pmatrix} \]Вычисляем \( \det(A_3) \):
\[ \det(A_3) = -9612 \]Определитель \( A_4 \)
Заменяем четвёртый столбец:
\[ A_4 = \begin{pmatrix} 8 & -5 & -1 & -50 \\ -10 & 5 & -1 & 80 \\ 1 & 6 & 2 & 25 \\ -3 & -6 & -10 & 83 \end{pmatrix} \]Вычисляем \( \det(A_4) \):
\[ \det(A_4) = -4806 \]Шаг 4. Решение системы
Теперь находим решения системы:
\[ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-5778}{1442} \approx -4.01 \] \[ x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{2884}{1442} \approx 2.00 \] \[ x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-9612}{1442} \approx -6.67 \] \[ x_4 = \frac{\det(A_4)}{\det(A)} = \frac{-4806}{1442} \approx -3.33 \]Ответ:
\[ x_1 \approx -4.01, \quad x_2 \approx 2.00, \quad x_3 \approx -6.67, \quad x_4 \approx -3.33 \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку