Решить методом Гаусса

Условие:

Решить методом Гаусса

Решение:

Это система линейных алгебраических уравнений. Раздел математики, с которым мы имеем дело, - это линейная алгебра. Мы решим данную систему методом Гаусса, который также известен как метод последовательного исключения неизвестных. Система уравнений: 1) 2x₁ - 4x₂ + 3x₃ = 1 2) x₁ - 2x₂ + 4x₃ = 3 3) 3x₁ - x₂ + 5x₃ = 2 Шаги решения системы методом Гаусса: Шаг 1: Приведем систему к треугольному виду, исключая переменные из уравнений. Шаг 2: Сделаем элементы под главной диагональю равными нулю, меняя местами уравнения или складывая их, умноженные на коэффициент. Шаг 3: После того как система приведена к треугольному виду, перейдем к обратному ходу, то есть будем выражать переменные начиная с последней и подставлять их в предыдущие уравнения для нахождения всех неизвестных. Начнем решение: Приводим ко второму уравнению умноженное на -2 первое уравнение и к третьему уравнению умноженное на -3 первое уравнение: 2) x₁ - 2x₂ + 4x₃ = 3 - (2(2x₁ - 4x₂ + 3x₃) = 2(1)) -------------------------------- -3x₂ + 5x₃ = 3 - 2 = 1 3) 3x₁ - x₂ + 5x₃ = 2 - (3(2x₁ - 4x₂ + 3x₃) = 3(1)) -------------------------------- 11x₂ - 4x₃ = 2 - 3 = -1 Новая система: 1) 2x₁ - 4x₂ + 3x₃ = 1 2) -3x₂ + 5x₃ = 1 3) 11x₂ - 4x₃ = -1 Теперь от второго уравнения отнимем умноженное на 11/3 третье уравнение: 2) (-3x₂ + 5x₃ = 1) - (11/3 * (11x₂ - 4x₃) = 11/3 * (-1)) ------------------------------------ (15x₃ - 44x₃/3 = 3 + 11/3) 45x₃/3 - 44x₃ /3 = 9/3 + 11/3 x₃/3 = 20/3 x₃ = 20 Теперь мы нашли x₃, подставим его в уравнение 2) для нахождения x₂: -3x₂ + 5*20 = 1 -3x₂ = 1 - 100 -3x₂ = -99 x₂ = 33 Теперь подставляем x₂ и x₃ в уравнение 1) для нахождения x₁: 2x₁ - 4*33 + 3*20 = 1 2x₁ - 132 + 60 = 1 2x₁ = 1 + 132 - 60 2x₁ = 73 x₁ = 36.5 Итак, решение системы: x₁ = 36.5 x₂ = 33 x₃ = 20 Это решение системы линейных уравнений методом Гаусса.