Решить матрицу линейного оператора

Это задание по предмету "Линейная алгебра". Конкретно, это задание относится к теме "Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа. Ядро, область значений, собственные значения и собственные векторы линейного оператора".

Рассмотрим задание 1 из варианта 4:

Дано преобразование φ линейного пространства ℝ³, которое вектор v = (v₁, v₂, v₃) переводит в вектор φv = (v₁+v₂+v₃, 2v₂, 3v₁−v₃). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицу в базисах e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), e₃ = (0,0,1).

Доказательство линейности

Чтобы доказать, что преобразование линейное, нужно проверить два условия линейности:

1. φ(v + u) = φ(v) + φ(u)
2. φ(λv) = λφ(v)

Пусть v = (v₁, v₂, v₃) и u = (u₁, u₂, u₃).

1. Проверка линейности по сложению: φ(v + u) = φ((v₁ + u₁, v₂ + u₂, v₃ + u₃)) = ((v₁ + u₁) + (v₂ + u₂) + (v₃ + u₃), 2(v₂ + u₂), 3(v₁ + u₁) - (v₃ + u₃)). С другой стороны, φ(v) + φ(u) = (v₁ + v₂ + v₃, 2v₂, 3v₁ - v₃) + (u₁ + u₂ + u₃, 2u₂, 3u₁ - u₃) = ((v₁+u₁) + (v₂+u₂) + (v₃+u₃), 2(v₂+u₂), 3(v₁+u₁) - (v₃+u₃)). Преобразование удовлетворяет первому условию линейности.
2. Проверка линейности по умножению на скаляр: φ(λv) = φ((λv₁, λv₂, λv₃)) = (λv₁ + λv₂ + λv₃, 2λv₂, 3λv₁ - λv₃) С другой стороны, λφ(v) = λ(v₁ + v₂ + v₃, 2v₂, 3v₁ - v₃) = (λv₁ + λv₂ + λv₃, 2λv₂, 3λv₁ - λv₃). Преобразование удовлетворяет второму условию линейности.

Нахождение матрицы преобразования

Рассмотрим стандартный базис: e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), e₃ = (0,0,1). Найдем образы этих базисных векторов:

• Для e₁ = (1, 0, 0): φ(e₁) = φ(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0, 2*0, 3*1 - 0) = (1, 0, 3).
• Для e₂ = (0, 1, 0): φ(e₂) = φ(0, 1, 0) = (0 + 1 + 0, 2*1, 3*0 - 0) = (1, 2, 0).
• Для e₃ = (0, 0, 1): φ(e₃) = φ(0, 0, 1) = (0 + 0 + 1, 2*0, 3*0 - 1) = (1, 0, -1).

Теперь составим матрицу преобразования, используя эти образы как столбцы матрицы: A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}. Таким образом, линейное преобразование и его матрица в стандартном базисе имеют следующий вид: A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}.