Решить матрицу линейного оператора

Условие:

Решение:

Это задание по предмету "Линейная алгебра". Конкретно, это задание относится к теме "Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа. Ядро, область значений, собственные значения и собственные векторы линейного оператора". Рассмотрим задание 1 из варианта 4: > Дано преобразование φ линейного пространства ℝ³, которое вектор 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) переводит в вектор φ𝑥 = (𝑥₁+𝑥₂+𝑥₃, 2𝑥₂, 3𝑥₁−𝑥₃). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицу в базисах e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), e₃ = (0,0,1). ### Доказательство линейности Чтобы доказать, что преобразование линейное, нужно проверить два условия линейности: 1. \( φ(𝑥 + 𝑦) = φ(𝑥) + φ(𝑦) \) 2. \( φ(𝑐𝑥) = 𝑐φ(𝑥) \) Пусть \( 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) \) и \( 𝑦 = (𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃) \). 1. Проверка линейности по сложению: \[ φ(𝑥 + 𝑦) = φ((𝑥₁ + 𝑦₁), (𝑥₂ + 𝑦₂), (𝑥₃ + 𝑦₃)) = ((𝑥₁ + 𝑦₁) + (𝑥₂ + 𝑦₂) + (𝑥₃ + 𝑦₃), 2(𝑥₂ + 𝑦₂), 3(𝑥₁ + 𝑦₁) - (𝑥₃ + 𝑦₃)). \] С другой стороны, \[ φ(𝑥) + φ(𝑦) = (𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃, 2𝑥₂, 3𝑥₁ - 𝑥₃) + (𝑦₁ + 𝑦₂ + 𝑦₃, 2𝑦₂, 3𝑦₁ - 𝑦₃) = ((𝑥₁+𝑦₁) + (𝑥₂+𝑦₂) + (𝑥₃+𝑥₃), 2(𝑥₂+𝑦₂), 3(𝑥₁+𝑦₁) - (𝑥₃+𝑥₃)). \] Преобразование удовлетворяет первому условию линейности. 2. Проверка линейности по умножению на скаляр: \[ φ(𝑐𝑥) = φ((𝑐𝑥₁, 𝑐𝑥₂, 𝑐𝑥₃)) = (𝑐𝑥₁ + 𝑐𝑥₂ + 𝑐𝑥₃, 2𝑐𝑥₂, 3𝑐𝑥₁ - 𝑐𝑥₃) \] С другой стороны, \[ 𝑐φ(𝑥) = 𝑐(𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃, 2𝑥₂, 3𝑥₁ - 𝑥₃) = (𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃, 2𝑐𝑥₂, 3𝑐𝑥₁ - 𝑐𝑥₃). \] Преобразование удовлетворяет второму условию линейности. ### Нахождение матрицы преобразования Рассмотрим стандартный базис: \( e₁ = (1,0,0) \), \( e₂ = (0,1,0) \), \( e₃ = (0,0,1) \). Найдем образы этих базисных векторов: Для \( e₁ = (1, 0, 0) \): \[ φ(e₁) = φ(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0, 2*0, 3*1 - 0) = (1, 0, 3). \] Для \( e₂ = (0, 1, 0) \): \[ φ(e₂) = φ(0, 1, 0) = (0 + 1 + 0, 2*1, 3*0 - 0) = (1, 2, 0). \] Для \( e₃ = (0, 0, 1) \): \[ φ(e₃) = φ(0, 0, 1) = (0 + 0 + 1, 2*0, 3*0 - 1) = (1, 0, -1). \] Теперь составим матрицу преобразования, используя эти образы как столбцы матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] Таким образом, линейное преобразование и его матрица в стандартном базисе имеют следующий вид: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]