Решить матричное уравнение

Условие:

Решение:

Это задание относится к предмету "Математика", конкретно разделу "Линейная алгебра" и теме "Матрицы и матричные уравнения". Необходимо решить матричное уравнение. Дано матричное уравнение: \[ \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] Обозначим матрицу \[ \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] как \( A \) и матрицу \[ \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] как \( B \). Необходимо найти матрицу \( X \). Чтобы найти \( X \), домножим обе стороны уравнения на обратную матрицу \( A^{-1} \) слева: \[ A^{-1} A X = A^{-1} B \] Так как \( A^{-1} A = I \) (единичная матрица), уравнение превращается в: \[ X = A^{-1} B \] Теперь нам нужно найти обратную матрицу \( A^{-1} \). Вычислим определитель матрицы \( A \): \[ \text{det}(A) = (-2) \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = -2 + 1 = -1 \] Так как определитель не равен нулю, матрица \( A \) обратима. Обратная матрица \( A^{-1} \) определяется формулой: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] где \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Для данной матрицы \( A \): \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \] Теперь найдём \( X \): \[ X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] Выполним умножение матриц: \[ \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1 \cdot -3 + -1 \cdot 2) & (-1 \cdot 4 + -1 \cdot -3) \\ (1 \cdot -3 + 2 \cdot 2) & (1 \cdot 4 + 2 \cdot -3) \end{pmatrix} \] Вычисляем каждый элемент результирующей матрицы: \[ \begin{pmatrix} -1 \cdot -3 + -1 \cdot 2 & -1 \cdot 4 + -1 \cdot -3 \\ 1 \cdot -3 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 & -4 + 3 \\ -3 + 4 & 4 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \] Таким образом, решение матричного уравнения \( X \) будет: \[ X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]