Решить линейное уравнение в векторной форме

Предмет данного задания — это "Линейная алгебра", раздел "Линейные уравнения и векторы".

Дано линейное уравнение в векторной форме: \[2\vec{a}_1 + 3\vec{a}_2 - \vec{a}_3 - 7\vec{x} = \vec{a}_4\]

Также даны следующие векторы:

• \[\vec{a}_1 = (-1, 2, -3, 4)\]
• \[\vec{a}_2 = (-1, -1, -1, 5)\]
• \[\vec{a}_3 = (2, -5, -1, 3)\]
• \[\vec{a}_4 = (2, 1, -2, -1)\]

Необходимо найти вектор \(\vec{x}\).

1. Запишем уравнение в координатной форме: \[2(-1, 2, -3, 4) + 3(-1, -1, -1, 5) - (2, -5, -1, 3) - 7\vec{x} = (2, 1, -2, -1)\]
2. Перемножим векторы на скаляры: \[2\vec{a}_1 = 2(-1, 2, -3, 4) = (-2, 4, -6, 8)\] \[3\vec{a}_2 = 3(-1, -1, -1, 5) = (-3, -3, -3, 15)\]
3. Запишем новое уравнение с этими результатами: \[(-2, 4, -6, 8) + (-3, -3, -3, 15) - (2, -5, -1, 3) - 7\vec{x} = (2, 1, -2, -1)\]
4. Сложим и вычтем векторы: \[ (-2, 4, -6, 8) + (-3, -3, -3, 15) = (-5, 1, -9, 23) \] \[ (-5, 1, -9, 23) - (2, -5, -1, 3) = (-7, 6, -8, 20) \]
5. Получаем: \[ -7\vec{x} = (2 + 7, 1 - 6, -2 + 8, -1 - 20) = (9, -5, 6, -21) \]
6. Решим для \(\vec{x}\): \[ -7\vec{x} = (9, -5, 6, -21) \] \[ \vec{x} = \left(-\frac{9}{7}, \frac{5}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{21}{7}\right) = \left(-\frac{9}{7}, \frac{5}{7}, -\frac{6}{7}, 3\right) \]

Итак, решение задачи: \(\vec{x} = \left(-\frac{9}{7}, \frac{5}{7}, -\frac{6}{7}, 3\right)\).