Предмет: Математика
Раздел: Алгебра (Квадратные уравнения)
Задание: Решить уравнение \(x^2 + 2x + 4 = 0\)
Чтобы решить это квадратное уравнение, используем формулу квадратного уравнения: \[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Где \(a\), \(b\), и \(c\) — коэффициенты уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = 4\).
- Вычислим дискриминант \(D\):
\[
D = b^2 - 4ac
\]
\[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4
\]
\[
D = 4 - 16
\]
\[
D = -12
\]
- Анализируем дискриминант:
- Если \(D > 0\), у уравнения есть два различных действительных корня.
- Если \(D = 0\), у уравнения есть один действительный корень (корни совпадают).
- Если \(D < 0\), у уравнения нет действительных корней, но есть два комплексных корня.
В нашем случае \(D = -12 < 0\), следовательно, уравнение имеет два комплексных корня.
- Найдем комплексные корни уравнения:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}
\]
Чтобы работать с \(\sqrt{-12}\), вспомним, что \(\sqrt{-1} = i\), где \(i\) — мнимая единица. Тогда:
\[
\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i
\]
\[
\sqrt{12} можно разложить на \sqrt{4 \cdot 3}
\]
\[
\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]
Таким образом:
\[
\sqrt{-12} = 2\sqrt{3}i
\]
Теперь подставим это в уравнение для корней:
\[
x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2}
\]
Разделим числитель и знаменатель на 2:
\[
x = -1 \pm \sqrt{3}i
\]
Ответ: Уравнение \(x^2 + 2x + 4 = 0\) имеет два комплексных корня: \[
x_1 = -1 + \sqrt{3}i
\] \[
x_2 = -1 - \sqrt{3}i
\]