Решить квадратное уравнение

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра (Квадратные уравнения)

Задача:

Решить квадратное уравнение: \[ z^2 + 6z + 13 = 0 \]

Пошаговое решение:

Мы имеем уравнение вида: \[ az^2 + bz + c = 0 \], где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 13\). Это квадратное уравнение.

Для решения квадратных уравнений обычно используется формула для корней квадратного уравнения:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Шаг 1: Расчет дискриминанта (\(D\)):

Дискриминант \(D\) равен:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставляем значения \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 13\):

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16 \]

Так как дискриминант \(D = -16\) отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни.

Шаг 2: Использование формулы для нахождения комплексных корней:

Мы продолжаем работу с формулой для корней, подставляя \(D = -16\):

\[ z = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 4i}{2} \]

(здесь \(\sqrt{-16} = 4i\), так как корень из отрицательного числа — это мнимая единица \(i\)).

Теперь разделим на 2:

\[ z = \frac{-6}{2} \pm \frac{4i}{2} = -3 \pm 2i \]

Ответ:

Корни уравнения: \[ z = -3 + 2i \quad \text{и} \quad z = -3 - 2i \]