Решить квадратичную форму методом лагранжа

Условие:

реши 5 вариант методом лагранжа

Решение:

Это задание по математике, в частности по линейной алгебре, на тему приведения квадратичных форм к каноническому виду с помощью нелинейного невырожденного преобразования. Рассмотрим 5 вариант: Формулы: \[ a) 2x_1^2 - x_2^2 + x_3^2 - 4x_1x_2 + 2x_2x_3 \] \[ б) x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_1x_2 + 2x_2x_3 \] Для решения этой задачи нам понадобится применить метод Лагранжа. ### Шаг 1: Запишем квадратичную форму в матричном виде. #### Форма (a): \[ f(x) = [x_1, x_2, x_3] A \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \] где матрица \(A\) будет симметричной. \[ A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \] #### Форма (б): \[ f(x) = [x_1, x_2, x_3] B \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \] \[ B = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \] ### Шаг 2: Найдем собственные значения и собственные векторы матриц \(A\) и \(B\). #### Для матрицы (A): 1. Найдем характеристический многочлен, решив \(\det(A - \lambda I) = 0\). \[ det\begin{vmatrix} 2 - \lambda & -2 & 0 \\ -2 & -1- \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \] Решение этого уравнения дает собственные значения \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\). 2. Для каждого \(\lambda\) найдем собственные векторы \(v\), решая \((A - \lambda I)v = 0\). #### Для матрицы (B): Процедура аналогична. ### Шаг 3 (Пример): Рассмотрим процесс для одного из собственных значений и векторов (это просто пример): 1. Допустим, \(\lambda_1 = 3\) является собственным значением \(A\), тогда найдем собственный вектор, решая \((A - 3I)v = 0\). ### Шаг 4: Ортогонализируем найденные собственные векторы (если нужно) и составим матрицу перехода \(P\). ### Шаг 5: Преобразуем исходную квадратичную форму в современную с помощью \(P\). \[ P^T A P = D, \] где \(D\) — диагональная матрица, содержащая собственные значения на диагонали. ### Шаг 6: Преобразуем выражение функции с помощью найденной матрицы. Это дает нам каноническую форму квадратичной функции: ### Решение для формы (a): \[ f(x) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \] Аналогичные шаги повторяем для формы (б). Для точного просчета собственных значений и собственных векторов, потребуется выполнение всех вышеуказанных шагов.