Решить квадратичную форму методом лагранжа

Это задание по математике, в частности по линейной алгебре, на тему приведения квадратичных форм к каноническому виду с помощью нелинейного невырожденного преобразования. Рассмотрим 5 вариант:

Формулы:

Для решения этой задачи нам понадобится применить метод Лагранжа.

Шаг 1: Запишем квадратичную форму в матричном виде.

Форма (a):

где матрица \(A\) будет симметричной.

Форма (б):

Шаг 2: Найдем собственные значения и собственные векторы матриц \(A\) и \(B\).

Для матрицы (A):

1. Найдем характеристический многочлен, решив $\text{(}det(A-\lambda I)=0\text{)}.$
$\text{[}det\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & -2& 0\\ -2& -1-\lambda & 1\\ 0& 1& 1-\lambda \end{array}\right|=0\text{]}$
2. Решение этого уравнения дает собственные значения $\text{(}{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\text{)}.$
3. Для каждого $\text{(}\lambda \text{)}$ найдем собственные векторы \(v\), решая $\text{(}(A-\lambda I)v=0\text{)}$.

Для матрицы (B): Процедура аналогична.

Шаг 3 (Пример):

Рассмотрим процесс для одного из собственных значений и векторов (это просто пример):

1. Допустим, $\text{(}{\lambda }_1=3\text{)}$ является собственным значением \(A\), тогда найдем собственный вектор, решая $\text{(}(A-3I)v=0\text{)}$.

Шаг 4: Ортогонализируем найденные собственные векторы (если нужно) и составим матрицу перехода \(P\).

Шаг 5: Преобразуем исходную квадратичную форму в современную с помощью \(P\).

где \(D\) — диагональная матрица, содержащая собственные значения на диагонали.

Шаг 6: Преобразуем выражение функции с помощью найденной матрицы.

Это дает нам каноническую форму квадратичной функции:

Решение для формы (a):

Аналогичные шаги повторяем для формы (б).

Для точного просчета собственных значений и собственных векторов, потребуется выполнение всех вышеуказанных шагов.