Решить через теорему остроградского гаусса

Задача относится к предмету «Векторный анализ», разделу «Потоки и дивергенция векторных полей» и требует применения теоремы Остроградского-Гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса гласит, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному этой поверхностью:

\[ \oiint\limits_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV \]

Шаги решения задачи:

1. Определим векторное поле \( \mathbf{a} \):

\[ \mathbf{a} = (z + y) \mathbf{i} + (x - z) \mathbf{j} + z \mathbf{k} \]

2. Определим дивергенцию векторного поля \( \nabla \cdot \mathbf{a} \):

\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(z + y) + \frac{\partial}{\partial y}(x - z) + \frac{\partial}{\partial z}(z) \]

Рассчитаем каждое производное:

\[ \frac{\partial}{\partial x}(z + y) = 0 \]

\[ \frac{\partial}{\partial y}(x - z) = 0 \]

\[ \frac{\partial}{\partial z}(z) = 1 \]

Таким образом, дивергенция:

\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = 0 + 0 + 1 = 1 \]

Теперь у нас:

\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = 1 \]

3. Определим объем \( V \), ограниченный поверхностью \( S \):

Поверхность \( S \) состоит из верхней части эллиптического цилиндра \( x^2 + 4y^2 = 4 \), з плоскости \( z = 1 \) и плоскости \( 3x + 4y + z = 12 \). Для вычисления объема, предположим, что это участок пространства заключенный между цилиндром \( x^2 + 4y^2 = 4 \), и плоскостями \( z = 1 \) и \( 3x + 4y + z = 12 \).

4. Интегрируем дивергенцию по этому объему:

\[ \iiint\limits_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) \, dV = \iiint\limits_V 1 \, dV = \text{Volume}(V) \]

Поскольку \( \nabla \cdot \mathbf{a} = 1 \), интеграл по объему равен самому объему \( V \). Вычислим объем \( V \):

Для определения объема, ограниченного данным эллиптическим цилиндром и плоскостями, сделаем следующие шаги:

• Цилиндр \( x^2 + 4y^2 = 4 \)
• Область в \( xy \)-плоскости: \( x^2 + 4y^2 \leq 4 \)

Перейдем к полярным координатам для вычисления:

\[ x = 2\cos{\theta}, \quad y = \sin{\theta}, \quad 0 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq theta < 2\pi \]

Запишем интеграл для объема:

\[ V = \iint\limits_{\text{основание}} (z_{\text{верх}} - z_{\text{низ}}) \, dA \]

Плоскость \( z = 1 \): знак \( z_{\text{низ}} = 1; z_{\text{верх}} =3x+4y+12 ( нижняя плоскость внутри цилиндра не контролируется). \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (12 - (1) - (3(2\cos{\theta})+a) \sqrt{\frac{x}} \, r \, dr \, d\theta = \]

Таким образом, объем у нас \( значние равно минимальной величине \infty , то обьем V(поток) равен=1 \)