Решение задания по предмету матричная теория

Этот вопрос относится к линейной алгебре, подгруппа - матричная теория.

Задание заключается в нахождении минора \( M^3_2 \) матрицы \( A \). Минор \( M^i_j \) — это определитель матрицы, полученной из данной матрицы путём вычёркивания \( i \)-й строки и \( j \)-го столбца.

Шаги для нахождения минора \( M^3_2 \) матрицы \( A \):

1. Вычеркнем третью строку и второй столбец исходной матрицы \( A \).
2. Найдём определитель оставшейся матрицы.

Матрица \( A \) выглядит следующим образом:

\[ A = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -5 & 4 & 2 \\ -1 & 4 & -1 & 5 \\ \end{pmatrix} \]

Вычеркиваем третью строку и второй столбец:

\[ \begin{pmatrix} 7 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 5 \\ \end{pmatrix} \]

Теперь найдём определитель полученной матрицы третьего порядка:

\[ \begin{vmatrix} 7 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 5 \\ \end{vmatrix} \]

Найдём определитель по правилу Саррюса или через разложение по первой строке:

\[ \begin{vmatrix} 7 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 5 \\ \end{vmatrix} = 7 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 5 \\ \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \\ \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \\ \end{vmatrix} \]

Теперь найдём определители каждого 2×2 минора:

\[ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 5 \\ \end{vmatrix} = (0 \cdot 5 - 3 \cdot (-1)) = 0 + 3 = 3 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \\ \end{vmatrix} = (2 \cdot 5 - 3 \cdot (-1)) = 10 + 3 = 13 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \\ \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) = -2 \]

Теперь вернёмся к нашему разложению:

\[ M^3_2 = 7 \cdot 3 - 5 \cdot 13 - 1 \cdot (-2) = 21 - 65 + 2 = -42 \]

Итак, минор \( M^3_2 \) матрицы \( A \) равен \(-42\).