Решение задачи на линейные операторы и их собственные значения и векторы

Это задание по линейной алгебре, раздел "линейные операторы и их собственные значения и векторы".

Дано: Линейный оператор \( f \) в базисе \( e_1, e_2, e_3 \) задан матрицей: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Также дано, что вектор \( x = -2e_1 + e_2 + e_3 \) является собственным вектором оператора \( f \). Надо найти его собственное значение.

Для начала, обозначим собственное значение через \( \lambda \). Поскольку \( x \) является собственным вектором \( f \), выполняется следующее уравнение: \[ A x = \lambda x \]

Вектор \( x \) в координатах в базисе \( e_1, e_2, e_3 \) записывается как: \[ x = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Теперь умножаем матрицу \( A \) на вектор \( x \):

\[ A x = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \\ 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 2 - 2 \\ -2 + 3 \\ -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Получили: \[ A x = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Таким образом, \(-2 \) является собственным значением (значением \( \lambda \)) для данного собственного вектора \( x \).

Итак, собственное значение для вектора \( x = -2e_1 + e_2 + e_3 \) равно \(-2\).