Решение в Excel методом Крамера

Предмет: Математика

Раздел: Линейная алгебра (Решение систем линейных уравнений методом Крамера)

Дано (вариант 8):

Рассмотрим систему линейных уравнений:
 \begin{cases} x_1 - 4x_2 - 2x_3 = -3 \ 3x_1 + x_2 + x_3 = 5 \ 3x_1 - 5x_2 - 6x_3 = 9 \end{cases} 

Решение в Excel методом Крамера

Метод Крамера основывается на вычислении определителей.

1. Создайте таблицу в Excel
   Введите коэффициенты системы в виде матрицы:

   	x₁	x₂	x₃	b
   1	1	-4	-2	-3
   2	3	1	1	5
   3	3	-5	-6	9

2. Вычислите определитель основной матрицы (Δ)
    \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -4 & -2 \ 3 & 1 & 1 \ 3 & -5 & -6 \end{vmatrix} 

   В Excel используем функцию MDETERM:

   =MDETERM(A1:C3)

   (где A1:C3 — диапазон основной матрицы).

3. Вычислите Δ₁, Δ₂, Δ₃

   • Δ₁ (заменяем 1-й столбец на столбец свободных членов):
      \Delta_1 = \begin{vmatrix} -3 & -4 & -2 \ 5 & 1 & 1 \ 9 & -5 & -6 \end{vmatrix} 
     В Excel:

     =MDETERM(D1:D3;B1:C3)

   • Δ₂ (заменяем 2-й столбец):
      \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \ 3 & 5 & 1 \ 3 & 9 & -6 \end{vmatrix} 
     В Excel:

     =MDETERM(A1:A3;D1:D3;C1:C3)

   • Δ₃ (заменяем 3-й столбец):
      \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & -3 \ 3 & 1 & 5 \ 3 & -5 & 9 \end{vmatrix} 
     В Excel:

     =MDETERM(A1:B3;D1:D3)

4. Найдем решения:
    x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, \quad x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, \quad x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} 

   В Excel:

   =D5/D4  (для x₁)
   =D6/D4  (для x₂)
   =D7/D4  (для x₃)

Вывод

После вычислений в Excel получим значения x_1, x_2, x_3.
Метод Крамера удобен для небольших систем, но неэффективен для больших матриц.