Решение уравнения методом Гаусса

Данное задание представляет собой систему линейных уравнений. Она относится к предмету "алгебра", а именно, к разделу "линейная алгебра" (работа с матрицами, линейными уравнениями и методами их решения). Эти уравнения пытаются выразить отношения между переменными \( x_1 \), \( x_2 \) и \( x_3 \). Для решения будем применять метод Гаусса, который состоит в приведении системы уравнений к ступенчатому виду путем выполнения элементарных преобразований над рядами.

Дана следующая система уравнений:

\[ 1) \ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 5 \]
\[ 2) \ 5x_1 - 6x_2 - 4x_3 = -3 \]
\[ 3) \ -4x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 1 \]

Теперь представим это в виде матрицы:

\[ \left[ \begin{matrix} 3 & 4 & 2 & | & 5 \\ 5 & -6 & -4 & | & -3 \\ -4 & 5 & 3 & | & 1 \\ \end{matrix} \right] \]

Сейчас начнем решать систему методом Гаусса, применяя шаги для приведения к "треугольному" виду, а затем решим ее обратной подстановкой.

Шаг 1: Приведение к ступенчатой форме

Начнем с того, что постараемся обнулить элементы под первым элементом в первом столбце (сделаем коэффициенты во втором и третьем уравнениях равные нулю).

1. Элементы второго уравнения на первом этапе очистим от \(x_1\). Для этого:

• \( R2 := R2 - \frac{5}{3} R1 \);

Получим преобразования для второго уравнения:

\[ R2: \ 5x_1 - 6x_2 - 4x_3 = -3 \]
\[ R2 := R2 - \frac{5}{3} R1; \]

Переписывая:

\[ R2: 0x_1 + \left( -6 - \frac{20}{3} \right) x_2 + \left( -4 - \frac{10}{3} \right) x_3 = -3 - \frac{25}{3} \]
\[ R2: 0x_1 - \frac{38}{3} x_2 - \frac{22}{3} x_3 = \frac{-34}{3} \]

2. Для \( R3 \):

• \( R3 := R3 + \frac{4}{3} R1 \)

\[ R3: \ -4x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 1 \]

Применяем преобразование:

\[ R3 := R3 + \frac{4}{3}(3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 5) \]
\[ \Rightarrow 0x_1 + \left(5 + \frac{16}{3}\right) x_2 + \left(3 + \frac{8}{3}\right) x_3 = 1 + \frac{20}{3} \]
\[ R3: 0x_1 + \frac{31}{3} x_2 + \frac{17}{3} x_3 = \frac{23}{3} \]

Теперь наша система выглядит так:

\[ \left[ \begin{matrix} 3 & 4 & 2 & | & 5 \\ 0 & -\frac{38}{3} & -\frac{22}{3} & | & \frac{-34}{3} \\ 0 & \frac{31}{3} & \frac{17}{3} & | & \frac{23}{3} \\ \end{matrix} \right] \]

Шаг 2: Работа со вторым столбцом

Преобразуем матрицу дальше, чтобы решить систему.