Решение системы уравнений двумя способами: Метод Гаусса и Метод матричного исчисления

Данное задание относится к предмету линейная алгебра, разделу системы линейных уравнений. Для решения системы уравнений мы применим два способа: Метод Гаусса и Метод матричного исчисления. Перейдём к подробному решению:

Система уравнений:

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 5, \\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 3, \\ x_1 + x_2 + x_3 = 4. \end{cases} \]

Решение методом Гаусса

1. Запись системы в виде расширенной матрицы.

   Выписываем коэффициенты \(a_{ij}\) из системы, а также столбец свободных членов \(b\):

   \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 3 & -1 & 2 & | & 3 \\ 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}. \]

2. Приведение к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк.
• Первую строку оставляем без изменений: \[ R_1 = [2, 1, 1, |, 5]. \]
• Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на \( \frac{3}{2} \) (\(R_2 = R_2 - \frac{3}{2}R_1\)):

\[ R_2 = \big[3, -1, 2, |, 3\big] - \frac{3}{2} \cdot \big[2, 1, 1, |, 5\big] = [0, -2.5, 0.5, |, -4.5]. \]

• Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на \( \frac{1}{2} \) (\(R_3 = R_3 - \frac{1}{2}R_1\)):

\[ R_3 = \big[1, 1, 1, |, 4\big] - \frac{1}{2} \cdot \big[2, 1, 1, |, 5\big] = [0, 0.5, 0.5, |, 1.5]. \]

Получаем:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & -2.5 & 0.5 & | & -4.5 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & | & 1.5 \\ \end{bmatrix}. \]

• Делим вторую строку на \( -2.5 \) (\(R_2 = \frac{R_2}{-2.5}\)):

\[ R_2 = [0, 1, -0.2, |, 1.8]. \]

• Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на \( 0.5 \) (\(R_3 = R_3 - 0.5 \cdot R_2\)):

\[ R_3 = \big[0, 0.5, 0.5, |, 1.5\big] - 0.5 \cdot \big[0, 1, -0.2, |, 1.8\big] = [0, 0, 0.6, |, 0.6]. \]

• Упрощаем третью строку, разделив на \( 0.6 \) (\(R_3 = R_3 / 0.6\)):

\[ R_3 = [0, 0, 1, |, 1]. \]

Итак, матрица приобретает следующий вид:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -0.2 & | & 1.8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ \end{bmatrix}. \]

3. Обратный ход (подстановка значений).
• Из третьего уравнения получаем: \(x_3 = 1\).
• Подставляем \(x_3 = 1\) во второе уравнение:

\[ x_2 - 0.2\cdot 1 = 1.8 \implies x_2 = 2. \]

• Подставляем \(x_3 = 1\) и \(x_2 = 2\) в первое уравнение:

\[ 2x_1 + 2 + 1 = 5 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1. \]

Итак, решение:

\[ x_1 = 1, \, x_2 = 2, \, x_3 = 1. \]

Решение методом матричного исчисления

Система записывается в матричной форме \(A \cdot X = B\), где:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, \, X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}, \, B = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \\ \end{bmatrix}. \]

1. Вычисление определителя матрицы \(A\).

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1 - 2) - 1 \cdot (3 - 2) + 1 \cdot (3 + 1) = -6 - 1 + 4 = -3. \]

Определитель не равен нулю (\(\text{det}(A) = -3\)), поэтому матрица \(A\) обратима.

2. Нахождение обратной матрицы \(A^{-1}\).

Используем формулу для обратной матрицы:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Adj}(A), \]

где \(\text{Adj}(A)\) — присоединённая матрица.

Выписываем миноры для \(\text{Adj}(A)\):

\[ \text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 - 2 & -2 - 2 & 3 + 1 \\ -2 - 2 & 2 - 2 & -3 - 1 \\ 1 + 3 & 6 - 3 & -3 + 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -4 & 4 \\ -4 & 0 & -4 \\ 4 & 3 & -2 \\ \end{bmatrix}. \]

Итак:

\[ A^{-1} = \frac{1}{-3} \cdot \begin{bmatrix} -3 & -4 & 4 \\ -4 & 0 & -4 \\ 4 & 3 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{4}{3} & -\frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} & 0 & \frac{4}{3} \\ -\frac{4}{3} & -1 & \frac{2}{3} \\ \end{bmatrix}. \]

3. Вычисление \(X = A^{-1} \cdot B\).

\[ X = \begin{bmatrix} 1 & \frac{4}{3} & -\frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} & 0 & \frac{4}{3} \\ -\frac{4}{3} & -1 & \frac{2}{3} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}. \]

Итоговое решение:

\[ x_1 = 1, \, x_2 = 2, \, x_3 = 1. \]

Умножаем \(A^{-1}\) на \(B\):