Решение системы линейных уравнений

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Решение системы линейных уравнений

Условие:

3x1 + 2x2 - x3 = 4 2x1 - x2 + x3 = 9 X1 - 2x2 + 2x3 = 3

Решение:

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к линейной алгебре из раздела системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение системы линейных уравнений:

У нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $$x_{1} $$ , $$x_{2} $$ , $$x_{3} $$ . Запишем ее еще раз:

\[1) 3 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4 \]

\[2) 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 9 \]

\[3) x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} = 3 \]

Мы можем решить эту систему разными методами: подстановкой, графически или методом Гаусса (матричный метод). Я решу систему методом Гаусса, так как это наиболее универсальный способ для задач такого типа.

Шаг 1: Записываем систему в матричном виде

\[(\begin{matrix} 3 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 3 \end{matrix}) \]

Шаг 2: Прямой ход метода Гаусса

Мы будем приводить расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

1. Добавим столбец свободных членов:

\[(\begin{matrix} 3 & 2 & - 1 & 4 \\ 2 & - 1 & 1 & 9 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 \end{matrix}) \]

2. Преобразуем строки для исключения первых элементов во втором и третьем уравнении. Используем первую строку для исключения 2-го и 3-го элементов в первом столбце.

Для второй строки: вычтем $$\frac{2}{3} $$ от первой строки $\[R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{1} \]$ $\[\Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 2 & - 1 & 4 \\ 0 & - \frac{7}{3} & \frac{5}{3} & \frac{20}{3} \\ 1 & - 2 & 2 & 3 \end{matrix}) \]$
Для третьей строки: вычтем $$\frac{1}{3} $$ от первой строки $\[R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{1} \]$ $Missing argument for \end$

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!