Определение предмета и раздела:
Это задание относится к линейной алгебре из раздела системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Решение системы линейных уравнений:
У нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\). Запишем ее еще раз:
\[
1) \ 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 4
\]
\[
2) \ 2x_1 - x_2 + x_3 = 9
\]
\[
3) \ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 3
\]
Мы можем решить эту систему разными методами: подстановкой, графически или методом Гаусса (матричный метод). Я решу систему методом Гаусса, так как это наиболее универсальный способ для задач такого типа.
Шаг 1: Записываем систему в матричном виде
\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
4 \\
9 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Шаг 2: Прямой ход метода Гаусса
Мы будем приводить расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
1. Добавим столбец свободных членов:
\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 & 4 \\
2 & -1 & 1 & 9 \\
1 & -2 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\]
2. Преобразуем строки для исключения первых элементов во втором и третьем уравнении. Используем первую строку для исключения 2-го и 3-го элементов в первом столбце.
- Для второй строки: вычтем \(\frac{2}{3}\) от первой строки
\[
R_2 = R_2 - \frac{2}{3}R_1
\]
\[
\Rightarrow \begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 & 4 \\
0 & -\frac{7}{3} & \frac{5}{3} & \frac{20}{3} \\
1 & -2 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\]
- Для третьей строки: вычтем \(\frac{1}{3}\) от первой строки
\[
R_3 = R_3 - \frac{1}{3}R_1
\]
\[
\Rightarrow \begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 & 4 \\
0 & -\frac{7}{3} & \frac{5}{3} & \frac{20}{3} \\
0 & -\frac{8}{3} & \frac{5}{3} & \frac{5/3}
\end{