Решение системы линейных уравнений

Условие:

3x1 + 2x2 - x3 = 4 2x1 - x2 + x3 = 9 X1 - 2x2 + 2x3 = 3

Решение:

### Определение предмета и раздела: Это задание относится к **линейной алгебре** из раздела **системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)**. ### Решение системы линейных уравнений: У нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\). Запишем ее еще раз: \[ 1) \ 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \] \[ 2) \ 2x_1 - x_2 + x_3 = 9 \] \[ 3) \ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 3 \] Мы можем решить эту систему разными методами: подстановкой, графически или методом Гаусса (матричный метод). Я решу систему методом Гаусса, так как это наиболее универсальный способ для задач такого типа. ### Шаг 1: Записываем систему в матричном виде \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Прямой ход метода Гаусса Мы будем приводить расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. #### 1. Добавим столбец свободных членов: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] ##### 2. Преобразуем строки для исключения первых элементов во втором и третьем уравнении. Используем первую строку для исключения 2-го и 3-го элементов в первом столбце. 1. Для второй строки: вычтем \(\frac{2}{3}\) от первой строки \[ R_2 = R_2 - \frac{2}{3}R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -\frac{7}{3} & \frac{5}{3} & \frac{20}{3} \\ 1 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] 2. Для третьей строки: вычтем \(\frac{1}{3}\) от первой строки \[ R_3 = R_3 - \frac{1}{3}R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -\frac{7}{3} & \frac{5}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & -\frac{8}{3} & \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix} \] ##### 3. Преобразуем строки, чтобы исключить второй элемент в третьей строке. Для преобразования снова вычтем строки. Чтобы исключить второй элемент в третьей строке, умножим вторую строку на \(\frac{-8}{7}\) и добавим к третьей строке. \[ R_3 = R_3 + \frac{-8}{7}R_2 \] После упрощений: \[ \Rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -\frac{7}{3} & \frac{5}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{7} & -\frac{5}{7} \end{pmatrix} \] ### Шаг 3: Обратный ход (подстановка) Теперь мы приступаем к обратному ходу, начиная с последнего уравнения. 1. Третье уравнение: \[ -\frac{1}{7}x_3 = -\frac{5}{7} \quad \Rightarrow \quad x_3 = 5 \] 2. Второе уравнение: \[ -\frac{7}{3}x_2 + \frac{5}{3}x_3 = \frac{20}{3} \] Подставляем \(x_3 = 5\): \[ -\frac{7}{3}x_2 + \frac{5}{3} \cdot 5 = \frac{20}{3} \quad \Rightarrow \quad -\frac{7}{3}x_2 + \frac{25}{3} = \frac{20}{3} \] \[ -\frac{7}{3}x_2 = \frac{20}{3} - \frac{25}{3} = -\frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{5}{7} \] 3. Первое уравнение: \[ 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \] Подставляем \(x_2 = \frac{5}{7}\) и \(x_3 = 5\): \[ 3x_1 + 2 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 4 \] \[ 3x_1 + \frac{10}{7} - 5 = 4 \quad \Rightarrow \quad 3x_1 - \frac{25}{7} = 4 \] \[ 3x_1 = 4 + \frac{25}{7} = \frac{28}{7} + \frac{25}{7} = \frac{53}{7} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{53}{21} \] ### Ответ: Таким образом, решения системы следующие: \[ x_1 = \frac{53}{21}, \quad x_2 = \frac{5}{7}, \quad x_3 = 5 \] Я подробное объяснил каждый шаг для лучшего понимания метода Гаусса.