Решение систем линейных уравнений тремя методами: методом Гаусса, методом Крамера и методом обратной матрицы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:

\[ \begin{cases} 5x_1 - x_2 + x_3 = 11, \\ x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 3, \\ 4x_1 - x_2 + 3x_3 = 17. \end{cases} \]

Решим данную систему тремя методами: методом Гаусса, методом Крамера и методом обратной матрицы.

1. Метод Гаусса

Для решения методом Гаусса приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

Шаг 1: Запишем расширенную матрицу системы.

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 11 \\ 1 & 3 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 3 & 17 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Прямая подстановка — приведение к треугольному виду.

Обнулим элементы под первым ведущим элементом в первом столбце.

1) Заменим вторую строку на строку 2 минус первую строку, умноженную на \(\frac{1}{5}\):

\[ \text{Строка 2} = \text{Строка 2} - \frac{1}{5} \cdot \text{Строка 1}: \]

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 11 \\ 0 & \frac{16}{5} & -\frac{7}{5} & \frac{8}{5} \\ 4 & -1 & 3 & 17 \end{pmatrix} \]

2) Заменим третью строку на строку 3 минус строку 1, умноженную на \(\frac{4}{5}\):

\[ \text{Строка 3} = \text{Строка 3} - \frac{4}{5} \cdot \text{Строка 1}: \]

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 11 \\ 0 & \frac{16}{5} & -\frac{7}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & \frac{4}{5} & \frac{11}{5} & \frac{51}{5} \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Продолжаем приведение к треугольному виду.

Теперь обнулим элемент под ведущим элементом второй строки во втором столбце.

1) Заменим третью строку на строку 3 минус строку 2, умноженную на \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\):

\[ \text{Строка 3} = \text{Строка 3} - \frac{1}{4} \cdot \text{Строка 2}: \]

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 11 \\ 0 & \frac{16}{5} & -\frac{7}{5} & \frac{8}{5} \\ 0 & 0 & \frac{66}{20} & \frac{38}{5} \end{pmatrix} \]

Примерно:

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 11 \\ 0 & 16 & -7 & 8 \\ 0 & 0 & 3.3 & 7.6 \end{pmatrix} \]

\(\frac{66}{20} = 3.3\), \(\frac{38}{5} = 7.6\).

Шаг 4: Обратный ход (метод Гаусса-Жордана).

Теперь, начиная с третьей строки, поднимаемся вверх и подставляем найденные значения.

1) Из третьего уравнения находим \(x_3\):

\[ 3.3x_3 = 7.6 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \frac{7.6}{3.3} \approx 2.3. \]

2) Подставляем \(x_3\) во второе уравнение:

\[ 16x_2 - 7(2.3) = 8 \quad \Rightarrow \quad 16x_2 - 16.1 = 8 \quad \Rightarrow \quad 16x_2 = 24.1, \]

\[ x_2 = \frac{24.1}{16} \approx 1.5. \]

3) Подставляем \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение:

\[ 5x_1 - 1.5 + 2.3 = 11 \quad \Rightarrow \quad 5x_1 + 0.8 = 11 \quad \Rightarrow \quad 5x_1 = 10.2, \]

\[ x_1 = \frac{10.2}{5} = 2.04. \]

Ответ методом Гаусса:

\[ x_1 \approx 2.04, \quad x_2 \approx 1.5, \quad x_3 \approx 2.3. \]

2. Метод Крамера

Запишем систему в матричном виде:

\[ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}, \]

где

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 17 \end{pmatrix}. \]

Ищем определитель матрицы \(\mathbf{A}\), обозначим его \(\Delta\).

\[ \Delta = \det(\mathbf{A}) = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \]

Вычислим все миноры:

\[ \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) = 9 - 2 = 7, \]

\[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot 4 = 3 + 8 = 11, \]

\[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -1 - 12 = -13. \]

Следовательно:

\[ \Delta = 5 \cdot 7 + 1 \cdot 11 + 1 \cdot (-13) = 35 + 11 - 13 = 33. \]

Теперь вычислим \(\Delta_1, \Delta_2\) и \(\Delta_3\). Для нахождения \(x_1\), заменим первый столбец на вектор правых частей \(\mathbf{b}\) и вычислим \(\Delta_1\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн