Решение систем линейных уравнений (методы Крамера и Жордана-Гаусса)

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений (методы Крамера и Жордана-Гаусса)

Рассмотрим задачи 6 и 7.

Задача 6: Решить методом Жордана-Гаусса систему

2x - y + 4z = 0
4x - 2y + 8z = 0
-x + y - 2z = 0

Шаг 1: Запишем систему в матричной форме

Коэффициенты системы записываются в виде расширенной матрицы:

 \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 & 0 \ 4 & -2 & 8 & 0 \ -1 & 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}. 

Шаг 2: Приведение к ступенчатому виду

Применяем элементарные преобразования строк:

1. Разделим первую строку на 2, чтобы сделать ведущий элемент равным 1:
    \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 2 & 0 \ 4 & -2 & 8 & 0 \ -1 & 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}. 

2. Обнулим элементы под ведущим элементом первого столбца:

   • Для второй строки: R_2 \to R_2 - 4R_1,
   • Для третьей строки: R_3 \to R_3 + R_1.

Получаем:
 \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{bmatrix}. 

3. Разделим третью строку на \frac{1}{2}, чтобы получить ведущий элемент равным 1:
    \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. 

4. Обнулим элементы выше ведущего элемента второго столбца:

   • Для первой строки: R_1 \to R_1 + \frac{1}{2}R_3.

Получаем:
 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. 

Шаг 3: Анализ решения

После приведения к ступенчатому виду видно, что система имеет бесконечное множество решений, так как один из рядов нулевой. Выразим переменные:
 x + 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2z, \quad y = 0. 

Общее решение:
 x = -2t, \, y = 0, \, z = t, \quad t \in \mathbb{R}. 

Задача 7: Решить методом Жордана-Гаусса систему

x - y + 3z = -1
2x + 3y + z = 8
x + 3y + z = 8

Шаг 1: Запишем систему в матричной форме

Коэффициенты системы записываются в виде расширенной матрицы:

 \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & -1 \ 2 & 3 & 1 & 8 \ 1 & 3 & 1 & 8 \end{bmatrix}. 

Шаг 2: Приведение к ступенчатому виду

Применяем элементарные преобразования строк:

1. Оставим первую строку без изменений. Обнулим элементы под ведущим элементом первого столбца:
   • Для второй строки: R_2 \to R_2 - 2R_1,
   • Для третьей строки: R_3 \to R_3 - R_1.

Получаем:
 \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & -1 \ 0 & 5 & -5 & 10 \ 0 & 4 & -2 & 9 \end{bmatrix}. 

2. Преобразуем второй столбец. Разделим вторую строку на 5, чтобы получить ведущий элемент равным 1:
    \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & -1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 4 & -2 & 9 \end{bmatrix}. 

3. Обнулим элементы выше и ниже ведущего элемента второго столбца:

   • Для первой строки: R_1 \to R_1 + R_2,
   • Для третьей строки: R_3 \to R_3 - 4R_2.

Получаем:
 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}. 

4. Преобразуем третий столбец. Разделим третью строку на 2, чтобы получить ведущий элемент равным 1:
    \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}. 

5. Обнулим элементы выше ведущего элемента третьего столбца:

   • Для первой строки: R_1 \to R_1 - 2R_3,
   • Для второй строки: R_2 \to R_2 + R_3.

Получаем:
 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}. 

Шаг 3: Запишем решение

 x = 0, \, y = \frac{5}{2}, \, z = \frac{1}{2}. 

Итак, решение системы:
 x = 0, \, y = \frac{5}{2}, \, z = \frac{1}{2}.