Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Предмет: Алгебра

Раздел: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Условие задачи:

Требуется решить систему линейных уравнений методом Крамера:

 \begin{cases} -3x_1 + 5x_2 + 6x_3 = -8, \ 3x_1 + x_2 + x_3 = -4, \ x_1 - 4x_2 - 2x_3 = -9. \end{cases} 

Метод Крамера:

Метод Крамера применяется для решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, если определитель этой матрицы не равен нулю. Для системы из ( n ) уравнений с ( n ) неизвестными:

 Ax = b, 

где ( A ) — матрица коэффициентов, ( x ) — столбец неизвестных, ( b ) — столбец свободных членов, решение находится по формулам:

 x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, 

где:

• ( \Delta ) — определитель матрицы ( A ),
• ( \Delta_i ) — определитель матрицы, полученной заменой ( i )-го столбца матрицы ( A ) на столбец ( b ).

Шаг 1: Задание матрицы коэффициентов и столбца свободных членов

Матрица коэффициентов ( A ):

 A = \begin{pmatrix} -3 & 5 & 6 \ 3 & 1 & 1 \ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix}. 

Столбец свободных членов ( b ):

 b = \begin{pmatrix} -8 \ -4 \ -9 \end{pmatrix}. 

Шаг 2: Вычисление определителя ( \Delta )

 \Delta = \begin{vmatrix} -3 & 5 & 6 \ 3 & 1 & 1 \ 1 & -4 & -2 \end{vmatrix}. 

Рассчитаем по правилу треугольников:  \Delta = -3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ -4 & -2 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -4 \end{vmatrix}. 

Вычисляем каждый минор:

1. \begin{vmatrix} 1 & 1 \ -4 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-4) = -2 + 4 = 2.
2. \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = -6 - 1 = -7.
3. \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -4 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4) - 1 \cdot 1 = -12 - 1 = -13.

Подставляем в формулу для ( \Delta ):  \Delta = -3 \cdot 2 - 5 \cdot (-7) + 6 \cdot (-13) = -6 + 35 - 78 = -49. 

Шаг 3: Вычисление ( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 )

Определитель ( \Delta_1 ):

Заменяем первый столбец матрицы ( A ) на столбец ( b ):  \Delta_1 = \begin{vmatrix} -8 & 5 & 6 \ -4 & 1 & 1 \ -9 & -4 & -2 \end{vmatrix}. 

Вычисляем:  \Delta_1 = -8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ -4 & -2 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 1 \ -9 & -2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 1 \ -9 & -4 \end{vmatrix}. 

Миноры:

1. \begin{vmatrix} 1 & 1 \ -4 & -2 \end{vmatrix} = 2.
2. \begin{vmatrix} -4 & 1 \ -9 & -2 \end{vmatrix} = -4 \cdot (-2) - 1 \cdot (-9) = 8 + 9 = 17.
3. \begin{vmatrix} -4 & 1 \ -9 & -4 \end{vmatrix} = -4 \cdot (-4) - 1 \cdot (-9) = 16 + 9 = 25.

Подставляем:  \Delta_1 = -8 \cdot 2 - 5 \cdot 17 + 6 \cdot 25 = -16 - 85 + 150 = 49. 

Определитель ( \Delta_2 ):

Заменяем второй столбец матрицы ( A ) на столбец ( b ):  \Delta_2 = \begin{vmatrix} -3 & -8 & 6 \ 3 & -4 & 1 \ 1 & -9 & -2 \end{vmatrix}. 

Вычисляем:  \Delta_2 = -3 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 1 \ -9 & -2 \end{vmatrix} + 8 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -4 \ 1 & -9 \end{vmatrix}. 

Миноры:

1. \begin{vmatrix} -4 & 1 \ -9 & -2 \end{vmatrix} = 17.
2. \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7.
3. \begin{vmatrix} 3 & -4 \ 1 & -9 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-9) - (-4) \cdot 1 = -27 + 4 = -23.

Подставляем:  \Delta_2 = -3 \cdot 17 + 8 \cdot (-7) + 6 \cdot (-23) = -51 - 56 - 138 = -245. 

Определитель ( \Delta_3 ):

Заменяем третий столбец матрицы ( A ) на столбец ( b ):  \Delta_3 = \begin{vmatrix} -3 & 5 & -8 \ 3 & 1 & -4 \ 1 & -4 & -9 \end{vmatrix}. 

Вычисляем:  \Delta_3 = -3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -4 \ -4 & -9 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -4 \ 1 & -9 \end{vmatrix} + (-8) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -4 \end{vmatrix}. 

Миноры:

1. \begin{vmatrix} 1 & -4 \ -4 & -9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-9) - (-4) \cdot (-4) = -9 - 16 = -25.
2. \begin{vmatrix} 3 & -4 \ 1 & -9 \end{vmatrix} = -23.
3. \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 1 & -4 \end{vmatrix} = -13.

Подставляем:  \Delta_3 = -3 \cdot (-25) - 5 \cdot (-23) - 8 \cdot (-13) = 75 + 115 + 104 = 294. 

Шаг 4: Вычисление неизвестных

 x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{49}{-49} = -1, \ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-245}{-49} = 5, \ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{294}{-49} = -6. 

Ответ:

 x_1 = -1, \, x_2 = 5, \, x_3 = -6.