Решение систем линейных уравнений

Предмет: Линейная алгебра. Раздел: Решение систем линейных уравнений.

Нам дана система линейных уравнений:

1. $2x+3y-z=7$
2. $x-y-3z=1$

Решим эту систему методом Жордана-Гаусса. Этот метод заключается в преобразовании расширенной матрицы системы к ступенчатому виду, а затем к диагональному виду, чтобы найти значения переменных.

Шаг 1. Запишем расширенную матрицу системы

Расширенная матрица записывается, включая коэффициенты перед переменными и свободные члены:

$\left[\begin{array}{ccccccc}2& 3& -1& 71& -1& -3& 1\end{array}\right]$

Шаг 2. Приведение к ступенчатому виду

Начнем с того, что сделаем ведущий элемент первого столбца равным 1. Для этого разделим первую строку на 2:

$\left[\begin{array}{ccccccc}1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{7}{2}1& -1& -3& 1\end{array}\right]$

Теперь вычтем первую строку из второй, чтобы обнулить элемент первого столбца во второй строке:

$\text{Missing close brace}$

Шаг 3. Приведение второго ведущего элемента к 1

Разделим вторую строку на $-\frac{5}{2}$, чтобы сделать ведущий элемент второго столбца равным 1:

$\left[\begin{array}{ccccccc}1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{7}{2}0& 1& 1& 1\end{array}\right]$

Шаг 4. Обратный ход: обнуление остальных элементов второго столбца

Теперь обнулим элемент второго столбца в первой строке. Для этого вычтем $\frac{3}{2}$ второй строки из первой:

$\text{Missing close brace}$

Шаг 5. Приведение третьего ведущего элемента к 1

Разделим первую строку на $-2$, чтобы сделать коэффициент перед $z$ равным 1:

$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& -10& 1& 1& 1\end{array}\right]$

Шаг 6. Обратный ход: обнуление остальных элементов третьего столбца

Теперь обнулим элемент третьего столбца во второй строке. Для этого вычтем вторую строку из первой:

$\text{Missing close brace}$

Шаг 7. Решение

Теперь матрица приведена к диагональному виду, и мы можем записать решение:

$x=-2,y=1,z=1$

Ответ:

$x=-2,y=1,z=1$