Решение систем линейных уравнений

Предмет: Линейная алгебра. Раздел: Решение систем линейных уравнений.

Нам дана система линейных уравнений:

1. 2x + 3y - z = 7
2. x - y - 3z = 1

Решим эту систему методом Жордана-Гаусса. Этот метод заключается в преобразовании расширенной матрицы системы к ступенчатому виду, а затем к диагональному виду, чтобы найти значения переменных.

Шаг 1. Запишем расширенную матрицу системы

Расширенная матрица записывается, включая коэффициенты перед переменными и свободные члены:

 \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 7 \ 1 & -1 & -3 & 1 \end{bmatrix} 

Шаг 2. Приведение к ступенчатому виду

Начнем с того, что сделаем ведущий элемент первого столбца равным 1. Для этого разделим первую строку на 2:

 \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 1 & -1 & -3 & 1 \end{bmatrix} 

Теперь вычтем первую строку из второй, чтобы обнулить элемент первого столбца во второй строке:

 \text{Вторая строка: } (R_2 = R_2 - R_1) \end{formula> \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \end{bmatrix} 

Шаг 3. Приведение второго ведущего элемента к 1

Разделим вторую строку на -\frac{5}{2}, чтобы сделать ведущий элемент второго столбца равным 1:

 \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{7}{2} \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} 

Шаг 4. Обратный ход: обнуление остальных элементов второго столбца

Теперь обнулим элемент второго столбца в первой строке. Для этого вычтем \frac{3}{2} второй строки из первой:

 \text{Первая строка: } (R_1 = R_1 - \frac{3}{2}R_2) \end{formula> \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} 

Шаг 5. Приведение третьего ведущего элемента к 1

Разделим первую строку на -2, чтобы сделать коэффициент перед z равным 1:

 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} 

Шаг 6. Обратный ход: обнуление остальных элементов третьего столбца

Теперь обнулим элемент третьего столбца во второй строке. Для этого вычтем вторую строку из первой:

 \text{Первая строка: } (R_1 = R_1 - R_2) \end{formula> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} 

Шаг 7. Решение

Теперь матрица приведена к диагональному виду, и мы можем записать решение:

 x = -2, \, y = 1, \, z = 1 

Ответ:

x = -2, \, y = 1, \, z = 1