Решение рациональных неравенств: 2х / х+3 ≥1

Условие:

2х / х+3 ≥1

Решение:

Давайте выполним ваше задание шаг за шагом. ### Определение предмета и раздела Этот пример относится к предмету **"Математика"** и разделу **"Алгебра"**, конкретно в область **"Решение рациональных неравенств"**. ### Решение задачи #### Неравенство: \[ \frac{2x}{x + 3} \ge 1 \] #### Шаг 1: Преобразуем неравенство так, чтобы получить общее выражение. Перенесем 1 в левую часть неравенства: \[ \frac{2x}{x + 3} - 1 \ge 0 \] #### Шаг 2: Приведем к общему знаменателю. Для этого представим 1 как дробь со знаменателем \( x + 3 \): \[ \frac{2x}{x + 3} - \frac{x + 3}{x + 3} \ge 0 \] Теперь выразим все под общей дробью: \[ \frac{2x - (x + 3)}{x + 3} \ge 0 \] Упростим числитель: \[ \frac{2x - x - 3}{x + 3} \ge 0 \] \[ \frac{x - 3}{x + 3} \ge 0 \] #### Шаг 3: Найдем нули числителя и знаменателя и определим точки интервального деления. Числитель нулевой при \( x = 3 \). Знаменатель нулевой при \( x = -3 \). Получаем критические точки: \( x = 3 \) и \( x = -3 \). #### Шаг 4: Интервальный метод Разобьем числовую ось на интервалы, используя критические точки: 1. \( (-\infty, -3) \) 2. \( (-3, 3) \) 3. \( (3, \infty) \) #### Шаг 5: Определим знаки в каждом из интервалов 1. **Интервал \( (-\infty, -3) \)**: Подставим \( x = -4 \): \[ \frac{-4 - 3}{-4 + 3} = \frac{-7}{-1} = 7 \ge 0 \] (правда, выполняется) 2. **Интервал \( (-3, 3) \)**: Подставим \( x = 0 \): \[ \frac{0 - 3}{0 + 3} = \frac{-3}{3} = -1 \not\ge 0 \] (нихт, не выполняется) 3. **Интервал \( (3, \infty) \)**: Подставим \( x = 4 \): \[ \frac{4 - 3}{4 + 3} = \frac{1}{7} \ge 0 \] (правда, выполняется) #### Шаг 6: Проверка на включение критических точек Проверяем \( x = 3 \): \[ \frac{3 - 3}{3 + 3} = \frac{0}{6} = 0 \ge 0 \] (включаем точку) Знаменатель \( x = -3 \) дает деление на ноль, следовательно, его исключаем. #### Окончательное решение: \[ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) \] Это и есть решение вашего неравенства. Следовательно, ответ: \[ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) \]