Решение рациональных неравенств: 2х / х+3 ≥1

Определение предмета и раздела

Этот пример относится к предмету "Математика" и разделу "Алгебра", конкретно в область "Решение рациональных неравенств".

Решение задачи

Неравенство:

\[ \frac{2x}{x + 3} \ge 1 \]

Шаг 1: Преобразуем неравенство так, чтобы получить общее выражение.

Перенесем 1 в левую часть неравенства:

\[ \frac{2x}{x + 3} - 1 \ge 0 \]

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю.

Для этого представим 1 как дробь со знаменателем \( x + 3 \):

\[ \frac{2x}{x + 3} - \frac{x + 3}{x + 3} \ge 0 \]

Теперь выразим все под общей дробью:

\[ \frac{2x - (x + 3)}{x + 3} \ge 0 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{2x - x - 3}{x + 3} \ge 0 \]

\[ \frac{x - 3}{x + 3} \ge 0 \]

Шаг 3: Найдем нули числителя и знаменателя и определим точки интервального деления.

Числитель нулевой при \( x = 3 \). Знаменатель нулевой при \( x = -3 \). Получаем критические точки: \( x = 3 \) и \( x = -3 \).

Шаг 4: Интервальный метод

Разобьем числовую ось на интервалы, используя критические точки:

1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, 3) \)
3. \( (3, \infty) \)

Шаг 5: Определим знаки в каждом из интервалов

1. Интервал \( (-\infty, -3) \): Подставим \( x = -4 \):

\[ \frac{-4 - 3}{-4 + 3} = \frac{-7}{-1} = 7 \ge 0 \] (правда, выполняется)

2. Интервал \( (-3, 3) \): Подставим \( x = 0 \):

\[ \frac{0 - 3}{0 + 3} = \frac{-3}{3} = -1 \not\ge 0 \] (нихт, не выполняется)

3. Интервал \( (3, \infty) \): Подставим \( x = 4 \):

\[ \frac{4 - 3}{4 + 3} = \frac{1}{7} \ge 0 \] (правда, выполняется)

Шаг 6: Проверка на включение критических точек

Проверяем \( x = 3 \):

\[ \frac{3 - 3}{3 + 3} = \frac{0}{6} = 0 \ge 0 \] (включаем точку)

Знаменатель \( x = -3 \) дает деление на ноль, следовательно, его исключаем.

Окончательное решение:

\[ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) \]

Это и есть решение вашего неравенства. Следовательно, ответ: \[ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) \]