Решение матричных уравнений

Определение предмета и раздела

Этот материал относится к линейной алгебре, а конкретно к разделу, связанному с работой с матрицами, решением матричных уравнений и нахождением обратных матриц.

Решение задачи 2.121:

\( X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \)

Постановка задачи

Нам нужно найти матрицу \( X \).

Общее решение матричного уравнения

Для того чтобы найти \( X \), нужно умножить обе стороны уравнения на обратную матрицу к \( \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \). Если \( A \cdot B = C \), то \( A = C \cdot B^{-1} \). Таким образом:

\[ X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}^{-1}. \]

Шаг 1: Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \), где \( A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \)

Обратная матрица находится по формуле:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A), \]

где:

• \( \det(A) \) — определитель матрицы \( A \),
• \( \text{adj}(A) \) — союзная матрица, которая состоит из алгебраических дополнений.

Вычисление определителя \( \det(A) \):

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} = (3)(-4) - (5)(-2) = -12 + 10 = -2. \]

Союзная матрица \( \text{adj}(A) \):

1. Алгебраическое дополнение элемента \( a_{11} = 3 \): \[ \det \begin{pmatrix} -4 \end{pmatrix} = -4 \] Алгебраическое дополнение: \( (-1)^{1+1} \cdot (-4) = -4 \).
2. Алгебраическое дополнение элемента \( a_{12} = -2 \): \[ \det \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix} = 5 \] Алгебраическое дополнение: \( (-1)^{1+2} \cdot 5 = -5 \).
3. Алгебраическое дополнение элемента \( a_{21} = 5 \): \[ \det \begin{pmatrix} -2 \end{pmatrix} = -2 \] Алгебраическое дополнение: \( (-1)^{2+1} \cdot (-2) = 2 \).
4. Алгебраическое дополнение элемента \( a_{22} = -4 \): \[ \det \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix} = 3 \] Алгебраическое дополнение: \( (-1)^{2+2} \cdot 3 = 3 \).

Союзная матрица: \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. \]

Обратная матрица:

\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \frac{5}{2} \\ -1 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}. \]

Шаг 2: Найдем \( X \)

\[ X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & \frac{5}{2} \\ -1 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}. \]

Выразим элементы результирующей матрицы:

• \( x_{11} = (-1)(2) + (2)(-1) = -2 - 2 = -4 \),
• \( x_{12} = (-1)\left(\frac{5}{2}\right) + (2)\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{5}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{11}{2} \),
• \( x_{21} = (-5)(2) + (6)(-1) = -10 - 6 = -16 \),
• \( x_{22} = (-5)\left(\frac{5}{2}\right) + (6)\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{25}{2} - \frac{18}{2} = -\frac{43}{2} \).

Итоговая матрица: \[ X = \begin{pmatrix} -4 & -\frac{11}{2} \\ -16 & -\frac{43}{2} \end{pmatrix}. \]

Теперь перемножим матрицы \( \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \end{pmatrix} \) и \( A^{-1} \):