Решение квадратичных формах и их определенности

Условие:

Решение:

Тематика этого задания относится к курсу линейной алгебры. В частности, к разделу о квадратичных формах и их определенности. Отрицательно определенной квадратичная форма \(\mathbf{Q(x)}\) является тогда, когда для любого ненулевого вектора \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{Q(x)} < 0\). Рассмотрим каждую из данных квадратичных форм: a) \(\mathbf{Q}_1(\mathbf{x}) = -x^2_1 - 2x^2_2\) Для определения типов квадратичных форм необходимо составить матрицу квадратичной формы \(\mathbf{A}\) и вычислить ее ведущие миноры (определители верхних левых подматриц размером 1x1, 2x2, и так далее). Матрица квадратичной формы: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] Ведущие миноры: - \( \Delta_1 = -1 \) - \( \Delta_2 = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-2) -0 = 2\) Первый минор отрицательный \((-1)\), что указывает на отрицательную определенность. Ведущие миноры в полном наборе четны и чередуются положительно и отрицательно, что также подтверждает отрицательную определенность. b) \(\mathbf{Q}_2(\mathbf{x}) = -2x^2_1 - x^2_2 + 2x_1x_2\) Составим матрицу квадратичной формы: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] Ведущие миноры: - \( \Delta_1 = -2 \) - \( \Delta_2 = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = 1\) Первый минор отрицательный \((-2)\), но второй (определитель матрицы) не следует правильной схемы чередования, поскольку он положительный. Следовательно, форма не отрицательно определена. в) \(\mathbf{Q}_3(\mathbf{x}) = x^2_1 - x^2_2 - 2x_1x_2\) Составим матрицу квадратичной формы: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \] Ведущие миноры: - \( \Delta_1 = 1 \) - \( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1) = -1 - 1 = -2\) Первый минор положительный \((1)\), что указывает на не отрицательную определенность. Следовательно, форма не отрицательно определена. Таким образом, из всех представленных квадратичных форм отрицательно определенной является только форма (а). Ответ: \((a)\).