Решение квадратичных формах и их определенности

Тематика этого задания относится к курсу линейной алгебры. В частности, к разделу о квадратичных формах и их определенности.

Отрицательно определенной квадратичная форма \(\mathbf{Q(x)}\) является тогда, когда для любого ненулевого вектора \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{Q(x)} < 0\). Рассмотрим каждую из данных квадратичных форм:

• a) \(\mathbf{Q}_1(\mathbf{x}) = -x^2_1 - 2x^2_2\)

Для определения типов квадратичных форм необходимо составить матрицу квадратичной формы \(\mathbf{A}\) и вычислить ее ведущие миноры (определители верхних левых подматриц размером 1x1, 2x2, и так далее). Матрица квадратичной формы:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \]

Ведущие миноры:

• \( \Delta_1 = -1 \)
• \( \Delta_2 = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-2) - 0 = 2\)

Первый минор отрицательный (\(-1\)), что указывает на отрицательную определенность. Ведущие миноры в полном наборе четны и чередуются положительно и отрицательно, что также подтверждает отрицательную определенность.

• b) \(\mathbf{Q}_2(\mathbf{x}) = -2x^2_1 - x^2_2 + 2x_1x_2\)

Составим матрицу квадратичной формы:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]

Ведущие миноры:

• \( \Delta_1 = -2 \)
• \( \Delta_2 = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = 1\)

Первый минор отрицательный (\(-2\)), но второй (определитель матрицы) не следует правильной схемы чередования, поскольку он положительный. Следовательно, форма не отрицательно определена.

• в) \(\mathbf{Q}_3(\mathbf{x}) = x^2_1 - x^2_2 - 2x_1x_2\)

Составим матрицу квадратичной формы:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \]

Ведущие миноры:

• \( \Delta_1 = 1 \)
• \( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1) = -1 - 1 = -2\)

Первый минор положительный (\(1\)), что указывает на не отрицательную определенность. Следовательно, форма не отрицательно определена.

Таким образом, из всех представленных квадратичных форм отрицательно определенной является только форма (а).

Ответ: \( (a) \).