Разложение векторов по базису

Это задание относится к алгебре, в частности к разделу линейной алгебры, который изучает линейные комбинации и разложение векторов по базису.

Для того чтобы разложить вектор \(\vec{d} = \{3, 4, 5\}\) по векторам \(\vec{a} = \{0, 1, 2\}\), \(\vec{b} = \{3, 1, -1\}\) и \(\vec{c} = \{4, -2, 1\}\), найдем такие коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\), чтобы выполнялось: \[ \vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} \] Запишем это равенство компонентно: \[ \begin{cases} 0x + 3y + 4z = 3 \\ 1x + 1y - 2z = 4 \\ 2x - 1y + 1z = 5 \\ \end{cases} \] Решим систему линейных уравнений.

1. Первое уравнение: \[ 3y + 4z = 3 \] Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{3 - 4z}{3} \]
2. Второе уравнение: \[ x + y - 2z = 4 \] Подставим выраженное \( y \): \[ x + \frac{3 - 4z}{3} - 2z = 4 \] Умножим на 3, чтобы убрать дробь: \[ 3x + 3 - 4z - 6z = 12 \] Упростим: \[ 3x + 3 - 10z = 12 \] \[ 3x - 10z = 9 \] \[ x = \frac{9 + 10z}{3} \]
3. Третье уравнение: \[ 2x - y + z = 5 \] Подставим выраженные \(x\) и \(y\): \[ 2\left(\frac{9 + 10z}{3}\right) - \left(\frac{3 - 4z}{3}\right) + z = 5 \] Умножим на 3, чтобы убрать дробь: \[ 2(9 + 10z) - (3 - 4z) + 3z = 15 \] \[ 18 + 20z - 3 + 4z + 3z = 15 \] \[ 35z + 15 = 15 \] \[ 35z = 0 \] \[ z = 0 \] Теперь найдем \(y\): \[ y = \frac{3 - 4(0)}{3} = 1 \] И \( x \): \[ x = \frac{9 + 10(0)}{3} = 3 \]

Итак, коэффициенты \(x = 3\), \(y = 1\) и \(z = 0\) составляют: \[ x = 3, y = 1, z = 0 \] Ответ: \[ \vec{d} = 3\vec{a} + 1\vec{b} + 0\vec{c} \] Таким образом, вектор \(\vec{d}\) разложен по векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).