Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом

Условие:

Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом .

Условие: Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом .

Решение:

Данное задание находится в области линейной алгебры и линейных операторов. Задание состоит в нахождении матрицы линейного оператора $$A $$ в базисе пространства 2x2 матриц. Начнем с определения, как оператор $$A $$ действует на каждый элемент базиса. Базис пространства 2x2 матриц состоит из матриц: $\[E_{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), E_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), E_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), E_{4} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) . \]$ Оператор $$A $$ действует на любую матрицу $$F $$ следующим образом: $\[A (F) = (F^{T}) B, \]$ где $$B = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) $$ , а $$F^{T} $$ — это транспонированная матрица $$F $$ . Мы должны действовать оператором $$A $$ на базисные матрицы и записать результаты в виде линейной комбинации базисных матриц.

1. Применим оператор $$A $$ к матрице $$E_{1} $$ :

$\[E_{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \]$ $\[E_{1}^{T} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \]$ $\[A (E_{1}) = E_{1}^{T} \cdot B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 3 E_{3} . \]$

2. Применим оператор $$A $$ к матрице $$E_{2} $$ :

$\[E_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \]$ $\[E_{2}^{T} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \]$ $\[A (E_{2}) = E_{2}^{T} \cdot B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = 3 E_{1} . \]$

3. Применим оператор $$A $$ к матрице $$E_{3} $$ :

$\[E_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \]$ $\[E_{3}^{T} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \]$ $\[A (E_{3}) = E_{3}^{T} \cdot B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 4 E_{3} + 2 E_{4} . \]$

4. Применим оператор $$A $$ к матрице $$E_{4} $$ :

$\[E_{4} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \]$ $\[E_{4}^{T} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \]$ $\[A (E_{4}) = E_{4}^{T} \cdot B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 3 E_{3} . \]$

Итак, матрица оператора $$A $$ в базисе состоит из координатных векторов результатов операций: $\[[A (E_{1}) ∣ A (E_{2}) ∣ A (E_{3}) ∣ A (E_{4})] = (\begin{matrix} 3 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) . \]$ Таким образом, матрица линейного оператора $$A $$ в базисе пространства 2x2 матриц имеет вид: $\[A = (\begin{matrix} 3 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) . \]$

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!

Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом

Условие:

Решение:

1. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{1} \)$ :

2. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{2} \)$ :

3. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{3} \)$ :

4. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{4} \)$ :

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ:

Время — это деньги!

Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом

Условие:

Решение:

1. Применим оператор \(A\) к матрице \(E1\):

2. Применим оператор \(A\) к матрице \(E2\):

3. Применим оператор \(A\) к матрице \(E3\):

4. Применим оператор \(A\) к матрице \(E4\):

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ:

1. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{1} \)$ :

2. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{2} \)$ :

3. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{3} \)$ :

4. Применим оператор $\(A \)$ к матрице $\(E_{4} \)$ :