Рассматривается пространство 2 х 2 матриц с базисом

Данное задание находится в области линейной алгебры и линейных операторов. Задание состоит в нахождении матрицы линейного оператора \( A \) в базисе пространства 2x2 матриц. Начнем с определения, как оператор \( A \) действует на каждый элемент базиса. Базис пространства 2x2 матриц состоит из матриц: \[ E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Оператор \( A \) действует на любую матрицу \( F \) следующим образом: \[ A(F) = (F^T) B, \] где \( B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \), а \( F^T \) — это транспонированная матрица \( F \). Мы должны действовать оператором \( A \) на базисные матрицы и записать результаты в виде линейной комбинации базисных матриц.

1. Применим оператор \( A \) к матрице \( E_1 \):

\[ E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ E_1^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A(E_1) = E_1^T \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 3E_3. \]

2. Применим оператор \( A \) к матрице \( E_2 \):

\[ E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ E_2^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A(E_2) = E_2^T \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = 3E_1. \]

3. Применим оператор \( A \) к матрице \( E_3 \):

\[ E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ E_3^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A(E_3) = E_3^T \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 4E_3 + 2E_4. \]

4. Применим оператор \( A \) к матрице \( E_4 \):

\[ E_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ E_4^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A(E_4) = E_4^T \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 3E_3. \]

Итак, матрица оператора \( A \) в базисе состоит из координатных векторов результатов операций: \[ [A(E_1) \mid A(E_2) \mid A(E_3) \mid A(E_4)] = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Таким образом, матрица линейного оператора \( A \) в базисе пространства 2x2 матриц имеет вид: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]