Раскрыть скобки в выражении

Задание относится к разделу векторной алгебры предмета математика. Необходимо раскрыть скобки в данном выражении, используя скалярные произведения векторов.

Исходное выражение:

\[ (2\mathbf{i} - \mathbf{j}) \cdot \mathbf{j} + (\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) \cdot \mathbf{k} + (\mathbf{i} - 2\mathbf{k})^2 \]

Первое слагаемое:

\[ (2\mathbf{i} - \mathbf{j}) \cdot \mathbf{j} \]

Раскроем по правилу дистрибутивности:

\[ 2\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} - \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} \]

Так как скалярное произведение \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = 0\), а \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = 1\), получаем:

\[ 0 - 1 = -1 \]

Второе слагаемое:

\[ (\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) \cdot \mathbf{k} \]

Раскроем также по правилу дистрибутивности:

\[ \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} - 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} \]

Так как \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = 0\), а \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1\), получаем:

\[ 0 - 2 = -2 \]

Третье слагаемое:

\[ (\mathbf{i} - 2\mathbf{k})^2 \]

Это скалярный квадрат, равный:

\[ (\mathbf{i} - 2\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{k}) \]

Экспандируем:

\[ \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} - 2\mathbf{i} \cdot \mathbf{k} - 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} + 4\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} \]

Поскольку \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{k} = 0\) и \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), а \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\) и \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1\), получаем:

\[ 1 + 4 = 5 \]

Объединяем все слагаемые:

\[ -1 - 2 + 5 = 2 \]

Ответ:

2.