Раскрыть скобки и упростить векторные выражения, используя свойства векторного произведения

Определение предмета и раздела:

Данный пример относится к предмету векторная алгебра, конкретно к разделу векторные произведения (векторное произведение векторов). Здесь требуется раскрыть скобки и упростить векторные выражения, используя свойства векторного произведения.

Решим каждое задание поочередно.

Задание a:

\[ \mathbf{i} \times (\mathbf{j} + \mathbf{k}) - \mathbf{j} \times (\mathbf{i} + \mathbf{k}) + \mathbf{k} \times (\mathbf{i} + \mathbf{j}) \]

Раскрываем скобки, используя распределительный закон для векторного произведения \((\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c})) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c})\):

\[ \mathbf{i} \times (\mathbf{j} + \mathbf{k}) = (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + (\mathbf{i} \times \mathbf{k}) \]

\[ \mathbf{j} \times (\mathbf{i} + \mathbf{k}) = (\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + (\mathbf{j} \times \mathbf{k}) \]

\[ \mathbf{k} \times (\mathbf{i} + \mathbf{j}) = (\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + (\mathbf{k} \times \mathbf{j}) \]

Теперь для каждого векторного произведения применим стандартные правила векторных произведений для единичных орт:

\[ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \quad \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}, \quad \mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}, \quad \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i} \]

Подставляем:

\[ \mathbf{i} \times (\mathbf{j} + \mathbf{k}) = \mathbf{k} - \mathbf{j} \]

\[ \mathbf{j} \times (\mathbf{i} + \mathbf{k}) = -\mathbf{k} + \mathbf{i} \]

\[ \mathbf{k} \times (\mathbf{i} + \mathbf{j}) = \mathbf{j} - \mathbf{i} \]

Теперь подставляем в исходное выражение:

\[ (\mathbf{k} - \mathbf{j}) - (-\mathbf{k} + \mathbf{i}) + (\mathbf{j} - \mathbf{i}) \]

Раскрываем скобки и приводим подобные:

\[ \mathbf{k} - \mathbf{j} + \mathbf{k} - \mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{i} = 2\mathbf{k} - 2\mathbf{i} \]

Итак:

\[ Ответ: 2(\mathbf{k} - \mathbf{i}) \]

Задание б:

\[ (2\bar{a} + \bar{b}) \times (\bar{c} - \bar{a}) + (\bar{b} + \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b}) \]

Сначала раскроем скобки:

\[ (2\bar{a} + \bar{b}) \times (\bar{c} - \bar{a}) = 2\bar{a} \times \bar{c} - 2\bar{a} \times \bar{a} + \bar{b} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{a} \]

\[\bar{a} \times \bar{a} = 0\] (векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, так как синус угла между ними равен 0).

Произведение первого выражения:

\[ = 2\bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{a} \]

Теперь раскроем второе выражение:

\[ (\bar{b} + \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b}) = \bar{b} \times \bar{a} + \bar{b} \times \bar{b} + \bar{c} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{b} \]

\[\bar{b} \times \bar{b} = 0\], поэтому остается:

\[ = \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{b} \]

Теперь объединяем оба результата:

\[ 2\bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{a} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{b} \]

Произведение \[- \bar{b} \times \bar{a} + \bar{b} \times \bar{a} = 0\], поэтому:

\[ = 2\bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{b} \]

Однако \(\bar{b} \times \bar{c} = -\bar{c} \times \bar{b}\), эти члены сокращаются, и остается:

\[ = 2\bar{a} \times \bar{c} \]

Ответ: \[ \bar{a} \times \bar{c} \]

Задание в:

\[ 2\mathbf{i} \cdot (\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + 3\mathbf{j} \cdot (\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + 4\mathbf{k} \cdot (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) \]

Используем выводы для скалярных произведений единичных векторов:

\[ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}, \quad \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \]

Подставляем:

\[ 2\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + 3\mathbf{j} \cdot (-\mathbf{j}) + 4\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} \]

Так как \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1\), получаем:

\[ 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 \]

Выполняем вычисления:

\[ 2 - 3 + 4 = 3 \]

Итоговые ответы:

• a) \(2(\mathbf{k} - \mathbf{i})\)
• б) \(\bar{a} \times \bar{c}\)
• в) 3

Ответ: \[ 3 \]