Ранг матрицы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Ранг матрицы

Дана матрица:
 A = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 & -2 \ 3 & -8 & -5 & 3 \ -1 & 8 & 3 & -5 \end{pmatrix} 

Ранг матрицы — это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Для нахождения ранга матрицы приведем её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

1. Проверим линейную зависимость строк

Рассмотрим строки матрицы:

• Первая строка: (-1, 4, 2, -2)
• Вторая строка: (3, -8, -5, 3)
• Третья строка: (-1, 8, 3, -5)

Попробуем выразить третью строку через первые две. Заметим, что:
 \text{(3-я строка)} = 2 \times \text{(1-я строка)} + \text{(2-я строка)} 
Следовательно, третья строка является линейной комбинацией первых двух, значит, она линейно зависима.

2. Определение ранга

После исключения линейно зависимой строки остаются две линейно независимые строки, следовательно, ранг матрицы равен 2.

Ответ:
\operatorname{rank}(A) = 2