Проверка ортогональности векторов и дополнение системы до ортогонального базиса

Условие:

Решение:

Задание, представленное на изображении, относится к разделу "линейная алгебра" предмета "высшая математика". ### Задание 1 (4 балла) **Проверка ортогональности векторов и дополнение системы до ортогонального базиса:** Дано: \[ \vec{v1} = (1, -1, 1, -3) \] \[ \vec{v2} = (-4, 1, 5, 0) \] **Проверка ортогональности векторов:** Два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \] 1. Вычислим скалярное произведение данных векторов: \[ \vec{v1} \cdot \vec{v2} = 1 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 0 \] 2. Подставим значения: \[ \vec{v1} \cdot \vec{v2} = (1) \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + (1) \cdot 5 + (-3) \cdot 0 \] \[ \vec{v1} \cdot \vec{v2} = -4 -1 + 5 + 0 = 0 \] Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы \(\vec{v1} \) и \(\vec{v2} \) ортогональны. **Дополнение системы до ортогонального базиса:** Для дополнения до ортогонального базиса используем метод Грама-Шмидта. 1. Пусть уже имеющиеся векторы: \[ \vec{v1} = (1, -1, 1, -3) \] \[ \vec{v2} = (-4, 1, 5, 0) \] 2. Дополним систему до нового вектора \(\vec{u}\), который ортогонален данным. Для этого выберем произвольный вектор \(\vec{u} = (x_1, x_2, x_3, x_4)\) и будем проверять, что он ортогонален имеющимся векторами. 3. Пусть \(\vec{u} \cdot \vec{v1} = 0\): \[ x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot (-1) + x_3 \cdot 1 + x_4 \cdot (-3) = 0 \] \[ x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 0 \] 4. Пусть также \(\vec{u} \cdot \vec{v2} = 0\): \[ x_1 \cdot (-4) + x_2 \cdot 1 + x_3 \cdot 5 + x_4 \cdot 0 = 0 \] \[ -4x_1 + x_2 + 5x_3 = 0 \] Получаем систему уравнений для поиска неизвестных \(x_1, x_2, x_3, x_4\), которая при параметрическом подходе даст невырожденный вектор, дополнительно ортогональный уже имеющимся. **Решить систему:** 1. \( x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 0 \) 2. \[-4x_1 + x_2 + 5x_3 = 0\] Допустим \(x_4 = 1 \), тогда решим: 1. \( x_1 - x_2 + x_3 - 3 = 0 \) 2. \[-4x_1 + x_2 + 5x_3 = 0\] Из первого уравнения: \[ x_1 - x_2 + x_3 = 3 \] Подставляем во второе уравнение выражение: \[ -4x_1 + x_2 + 5(3 - x_1 + x_2) = 0 \] \[ -4x_1 + x_2 + 15 - 5x_1 + 5x_2 = 0 \] \[ -9x_1 + 6x_2 = -15 \] \[ 3x_2 = 3x_1 \] \[ x_2 = x_1 \] Теперь \(x_1 = x_2\), пусть \(x_1 = 1, x_2 = 1\), тогда из первого уравнения: \[ 1 - 1 + x_3 = 3 \] \[ x_3 = 3 \] Полученный базис: \[ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \] Для проверяем ортогональность базиса следует дополнительно убедиться в правильности выполненых расчётов.