Проверить векторы а1, а2 попарно ортогональны, дополнить их до ортогонального базисапространства А4, где а1=(1,-2,2,-3), а2=(2,-3,2,4).

Условие:

Проверить, что векторы а1, а2 попарно ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса пространства А4, где а1=(1,-2,2,-3), а2=(2,-3,2,4).

Решение:

Это задание по линейной алгебре, раздел "Векторные пространства и ортогональные базисы". 1. **Проверка, что векторы \( \mathbf{a}_1 \) и \( \mathbf{a}_2 \) попарно ортогональны:** Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Рассчитаем скалярное произведение векторов \( \mathbf{a}_1 \) и \( \mathbf{a}_2 \): \[ \mathbf{a}_1 = (1, -2, 2, -3) \] \[ \mathbf{a}_2 = (2, -3, 2, 4) \] Скалярное произведение: \[ \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 2 \cdot 2 + (-3) \cdot 4 \] \[ = 2 + 6 + 4 - 12 = 0 \] Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \mathbf{a}_1 \) и \( \mathbf{a}_2 \) ортогональны. 2. **Дополнение до ортогонального базиса:** Пространство \( \mathbb{R}^4 \) имеет размерность 4, следовательно, мы должны найти ещё два вектора, которые будут ортогональны как \( \mathbf{a}_1 \), так и \( \mathbf{a}_2 \) и между собой, чтобы получить полный ортогональный базис пространства \( \mathbb{R}^4 \). Назовем эти вектора \( \mathbf{a}_3 \) и \( \mathbf{a}_4 \). Известно, что третий вектор должен быть ортогонален первым двум. Для этого применим метод Грамма-Шмидта. Начнем с вектора \( \mathbf{a}_3 \). Предположим, что: \[ \mathbf{a}_3 = (x_1, x_2, x_3, x_4) \] Для ортогональности: \[ \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_3 = 1 \cdot x_1 + (-2) \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 + (-3) \cdot x_4 = 0 \] \[ x_1 - 2x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \] \[ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_3 = 2 \cdot x_1 + (-3) \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 + 4 \cdot x_4 = 0 \] \[ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 0 \] Получаем систему уравнений для нахождения \( \mathbf{a}_3 \): \[ x_1 - 2x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \] \[ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 0 \] Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго: \[ 2x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 6x_4 = 0 \] \[ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 - (2x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 6x_4) = 0 \] \[ (2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + 4x_4) - (2x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 6x_4) = 0 \] \[ -3x_2 + 4x_4 + x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0 \] \[ x_2 - 2x_3 + 10x_4 = 0 \] Упростим до \( x_2 = 2x_3 - 10x_4 \). Подставим \( x_2 \) в одно из уравнений: \[ x_1 - 2(2x_3 - 10x_4) + 2x_3 - 3x_4 = 0 \] \[ x_1 - 4x_3 + 20x_4 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \] \[ x_1 - 2x_3 + 17x_4 = 0 \] \[ x_1 = 2x_3 - 17x_4 \] Таким образом, выбрав \( x_3 = 1 \) и \( x_4 = 0 \), получим: \[ x_1 = 2 \] \[ x_2 = 2 \] Тогда: \[ \mathbf{a}_3 = (2, 2, 1, 0) \] Далее найдем \( \mathbf{a}_4 \), который будет ортогонален ко всем трём предыдущим. Аналогично решаем систему, но проще задать координаты \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = -4 \), \( x_4 = 2 \) из системы ортогональности с третьим векторам. Итоговый ортогональный базис: \[ \mathbf{a}_1 = (1, -2, 2, -3), \mathbf{a}_2 = (2, -3, 2, 4), \mathbf{a}_3 = (2, 2, 1, 0), \mathbf{a}_4 = (0, 3, -4, 2) \] Все векторы ортогональны между собой и образуют ортогональный базис пространства \( \mathbb{R}^4 \).