Проверить справедливость равенства матриц

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы. Операции над матрицами.

Нам необходимо проверить справедливость равенства: \[ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \] для матриц: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}. \]

Шаг 1: Вычисление левой части \((A+B)^2\)

1. Найдем сумму матриц \(A + B\): \[ A + B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 2 & -1 + 4 \\ 5 + 8 & -6 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 13 & -3 \end{pmatrix}. \]
2. Найдем квадрат матрицы \((A + B)^2, перемножив результат на себя: \[ (A+B)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 13 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 13 & -3 \end{pmatrix}. \] Выполняем поэлементное умножение: \[ \begin{pmatrix} 5*5 + 3*13 & 5*3 + 3*(-3) \\ 13*5 + (-3)*13 & 13*3 + (-3)*(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 + 39 & 15 - 9 \\ 65 - 39 & 39 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64 & 6 \\ 26 & 48 \end{pmatrix}. \]

Шаг 2: Вычисление правой части \(A^2 + 2A \cdot B + B^2\)

1. Вычислим \(A^2\): \[ A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*3 + (-1)*5 & 3*(-1) + (-1)*(-6) \\ 5*3 + (-6)*5 & 5*(-1) + (-6)*(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 5 & -3 + 6 \\ 15 - 30 & -5 + 36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -15 & 31 \end{pmatrix}. \]
2. Вычислим \(B^2\): \[ B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*2 + 4*8 & 2*4 + 4*3 \\ 8*2 + 3*8 & 8*4 + 3*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 32 & 8 + 12 \\ 16 + 24 & 32 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 & 20 \\ 40 & 41 \end{pmatrix}. \]
3. Вычислим \(A \cdot B\): \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*2 + (-1)*8 & 3*4 + (-1)*3 \\ 5*2 + (-6)*8 & 5*4 + (-6)*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 8 & 12 - 3 \\ 10 - 48 & 20 - 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ -38 & 2 \end{pmatrix}. \]
4. Вычислим \(2A \cdot B\): \[ 2A \cdot B = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ -38 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 18 \\ -76 & 4 \end{pmatrix}. \]
5. Сложим всё вместе: \[ A^2 + 2A \cdot B + B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -15 & 31 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 18 \\ -76 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 36 & 20 \\ 40 & 41 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 4 + 36 & 3 + 18 + 20 \\ -15 - 76 + 40 & 31 + 4 + 41 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 & 41 \\ -51 & 76 \end{pmatrix}. \]

Шаг 3: Сравнение результатов

• Левая часть (\((A + B)^2\)): \(\begin{pmatrix} 64 & 6 \\ 26 & 48 \end{pmatrix}\)
• Правая часть (\(A^2 + 2AB + B^2\)): \(\begin{pmatrix} 36 & 41 \\ -51 & 76 \end{pmatrix}\)

Эти матрицы не равны. Следовательно, данное матричное равенство не является справедливым для заданных матриц.