Проверить совместимость системы и, если система совместна, решить её методом Гаусса

Определение предмета и раздела

Данный тип задания связан с предметом "Линейная алгебра". Раздел: Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Условие задания:

Нам дана система из трёх уравнений:

\[ \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 8, \\ 2x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 1, \\ 5x_1 + 6x_2 - 9x_3 = 2. \end{cases} \]

Задача: проверить совместимость системы и, если система совместна, решить её методом Гаусса.

Порядок решения методом Гаусса (по шагам):

Шаг 1. Запись системы в виде матрицы коэффициентов

Составим расширенную матрицу системы из коэффициентов уравнений [A|B]:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -4 & 8 \\ 2 & 4 & -5 & 1 \\ 5 & 6 & -9 & 2 \\ \end{array} \right) \]

Шаг 2. Прямой ход метода Гаусса

Будем приводить матрицу к треугольному виду, выполняя элементарные преобразования строк.

1. Приведём 1-й элемент первой строки к единице, поделив всю первую строку на 3:

\[ R_1 \Rightarrow \frac{R_1}{3} \]

Получаем:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & \frac{8}{3} \\ 2 & 4 & -5 & 1 \\ 5 & 6 & -9 & 2 \\ \end{array} \right) \]

2. Обнулим первый элемент второй и третьей строк. Для этого сделаем:
   • \(R_2 \Rightarrow R_2 - 2 \cdot R_1\)
   • \(R_3 \Rightarrow R_3 - 5 \cdot R_1\)

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & \frac{8}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{13}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{22}{3} \\ \end{array} \right) \]

3. Приведём ведущий элемент второй строки ко второй степени к единице, разделив вторую строку на \(\frac{8}{3}\):

\[ R_2 \Rightarrow \frac{R_2}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8} \]

Получаем:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{13}{8} \\ 0 & \frac{10}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{22}{3} \\ \end{array} \right) \]

4. Обнулим второй элемент третьей строки. Для этого сделаем:

\[ R_3 \Rightarrow R_3 - \frac{10}{3} \cdot R_2 \]

Получаем:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} & -\frac{1}{12} \\ \end{array} \right) \]

Шаг 3. Обратный ход метода Гаусса

Теперь обратным ходом выразим переменные \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\).

1. Решаем для \(x_3\) из последнего уравнения:

\[ \frac{1}{12} x_3 = -\frac{1}{12} \Rightarrow x_3 = -1 \]

2. Подставляем \(x_3 = -1\) во второе уравнение:

\[ 1 \cdot x_2 - \frac{1}{4} \cdot (-1) = -\frac{13}{8} \]

\[ x_2 + \frac{1}{4} = -\frac{13}{8} \Rightarrow x_2 = -\frac{15}{8} \]

3. Подставляем \(x_2 = -\frac{15}{8}\) и \(x_3 = -1\) в первое уравнение:

\[ x_1 + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{15}{8}\right) - \frac{4}{3} \cdot (-1) = \frac{8}{3} \]

\[ x_1 - \frac{10}{8} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \Rightarrow x_1 = 2 \]

Ответ:

Решение системы:

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -\frac{15}{8}, \quad x_3 = -1 \]

Система совместна и имеет единственное решение.