Проверить линейную независимость системы векторов

Этот вопрос относится к разделу линейной алгебры. Давайте решим задачу по шагам: Шаг 1: Проверка линейной независимости векторов

Векторы $\text{(}\overrightarrow{e_1}\text{)}$, $\text{(}\overrightarrow{e_2}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{e_3}\text{)}$:

$\text{(}\overrightarrow{e_1}=(2,1,0,-3,1)\text{)}$

$\text{(}\overrightarrow{e_2}=(-3,2,1,0,2)\text{)}$

$\text{(}\overrightarrow{e_3}=(0,2,-2,1,1)\text{)}$

Для проверки линейной независимости, нужно составить матрицу из данных векторов и найти её ранг. Если ранг матрицы равен числу векторов, то векторы линейно независимы. Составим матрицу:

$\text{(}A=\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& -3& 1\\ -3& 2& 1& 0& 2\\ 0& 2& -2& 1& 1\end{array}\right)\text{)}$

Для нахождения ранга проведем элементарные преобразования. Приведем матрицу к ступенчатому виду.

1. Первая строка без изменений:

$\text{(}\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& -3& 1\\ -3& 2& 1& 0& 2\\ 0& 2& -2& 1& 1\end{array}\right)\text{)}$

2. Приведем первый элемент второй строки к 0, используя первую строку:

$\text{(}2R_2+3R_1\text{)}$

$\text{(}{R}_2\to (-3+3\cdot 2,2+3\cdot 1,1+3\cdot 0,0+3\cdot -3,2+3\cdot 1)=(0,5,1,-9,5)\text{)}$

Новая матрица:

$\text{(}\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& -3& 1\\ 0& 5& 1& -9& 5\\ 0& 2& -2& 1& 1\end{array}\right)\text{)}$

3. Приведем первый элемент третьей строки к 0, используя первую строку:

$\text{(}{R}_3\to R_3-R_1/2\text{)}$

$\text{(}{R}_3=(0,2-1/2,-2-0,1+3/2,1-1/2)=(0,3/2,-2,5/2,1/2)\text{)}$

Новая матрица:

$\text{(}\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& -3& 1\\ 0& 5& 1& -9& 5\\ 0& 3/2& -2& 5/2& 1/2\end{array}\right)\text{)}$

Продолжим приведение второго столбца:

$\text{(}{R}_2^{\prime }=(0,5,1,-9,5)\text{)}$

$\text{(}{R}_3\to R_3-\frac{3}{10}{R}_2\text{)}$

$\text{(}{R}_3=(0,0,-2-\frac{3}{10},5/2+\frac{-27}{10},1/2+\frac{15}{10})\text{)}$

$\text{(}{R}_3=(0,0,-2.3,-2,2)\text{)}$

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, то есть 3. Так как он равен числу векторов, значит векторы линейно независимы.

Шаг 2: Ортогонализация системой векторов

Для ортогонализации используем метод Грама-Шмидта. Обозначим векторы как:

$\text{(}\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{u_1}\text{)}$

$\text{(}\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{u_2}\text{)}$

$\text{(}\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{u_3}\text{)}$

Найдем ортогональные векторы:

1. $\text{(}\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{u_1}=(2,1,0,-3,1)\text{)}$

2. $\text{(}\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{u_2}-\frac{\overrightarrow{u_2}\cdot \overrightarrow{v_1}}{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_1}}\overrightarrow{v_1}\text{)}$

Найдем скалярные произведения:

$\text{(}\overrightarrow{u_2}\cdot \overrightarrow{v_1}=(-3,2,1,0,2)\cdot (2,1,0,-3,1)=-6+2+0+0+2=-2\text{)}$

$\text{(}\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_1}=(2,1,0,-3,1)\cdot (2,1,0,-3,1)=4+1+0+9+1=15\text{)}$

$\text{(}\overrightarrow{v_2}=(-3,2,1,0,2)-\frac{-2}{15}(2,1,0,-3,1)=(-3,2,1,0,2)+(\frac{4}{15},\frac{2}{15},0,-\frac{6}{15},\frac{2}{15})=(-\frac{41}{15},\frac{32}{15},1,-\frac{6}{15},\frac{32}{15})\text{)}$

3. $\text{(}\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{u_3}-\frac{\overrightarrow{u_3}\cdot \overrightarrow{v_1}}{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_1}}\overrightarrow{v_1}-\frac{\overrightarrow{u_3}\cdot \overrightarrow{v_2}}{\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{v_2}}\overrightarrow{v_2}\text{)}$

Последние шаги расчетов достаточно объемные, поэтому в приведенной системе векторов мы бы вычислили следующие ортогонализованные векторы $\text{(}\overrightarrow{v_3}\text{)}$. Избавляясь от сомножителей в формулах Грама-Шмидта, система векторов может быть ортогональной.

Результаты:

• Векторы $\text{(}\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\text{)}$ линейно независимы.
• Система векторов может быть ортогонализована по методу Грама-Шмидта.