Проверить линейную независимость системы векторов

Этот вопрос относится к разделу линейной алгебры. Давайте решим задачу по шагам: Шаг 1: Проверка линейной независимости векторов

Векторы \( \vec{e_1} \), \( \vec{e_2} \) и \( \vec{e_3} \):

\(\vec{e_1} = (2, 1, 0, -3, 1)\)

\(\vec{e_2} = (-3, 2, 1, 0, 2)\)

\(\vec{e_3} = (0, 2, -2, 1, 1)\)

Для проверки линейной независимости, нужно составить матрицу из данных векторов и найти её ранг. Если ранг матрицы равен числу векторов, то векторы линейно независимы. Составим матрицу:

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -3 & 1\\ -3 & 2 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Для нахождения ранга проведем элементарные преобразования. Приведем матрицу к ступенчатому виду.

1. Первая строка без изменений:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -3 & 1\\ -3 & 2 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

2. Приведем первый элемент второй строки к 0, используя первую строку:

\( 2R_2 + 3R_1 \)

\( R_2 \rightarrow (-3 + 3 \cdot 2, 2 + 3 \cdot 1, 1 + 3 \cdot 0, 0 + 3 \cdot -3, 2 + 3 \cdot 1) = (0, 5, 1, -9, 5) \)

Новая матрица:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 5 & 1 & -9 & 5\\ 0 & 2 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

3. Приведем первый элемент третьей строки к 0, используя первую строку:

\( R_3 \rightarrow R_3 - R_1/2 \)

\( R_3 = (0, 2 - 1/2, -2 - 0, 1 + 3/2, 1 - 1/2) = (0, 3/2, -2, 5/2, 1/2) \)

Новая матрица:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 5 & 1 & -9 & 5\\ 0 & 3/2 & -2 & 5/2 & 1/2 \end{pmatrix} \)

Продолжим приведение второго столбца:

\( R_2' = (0, 5, 1, -9, 5) \)

\( R_3 \rightarrow R_3 - \frac{3}{10} R_2 \)

\( R_3 = (0, 0, -2 - \frac{3}{10}, 5/2 + \frac{-27}{10}, 1/2 + \frac{15}{10}) \)

\( R_3 = (0, 0, -2.3, -2, 2) \)

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, то есть 3. Так как он равен числу векторов, значит векторы линейно независимы.

Шаг 2: Ортогонализация системой векторов

Для ортогонализации используем метод Грама-Шмидта. Обозначим векторы как:

\( \vec{e_1} = \vec{u_1} \)

\( \vec{e_2} = \vec{u_2} \)

\( \vec{e_3} = \vec{u_3} \)

Найдем ортогональные векторы:

1. \( \vec{v_1} = \vec{u_1} = (2, 1, 0, -3, 1) \)

2. \( \vec{v_2} = \vec{u_2} - \frac{\vec{u_2} \cdot \vec{v_1}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1} \)

Найдем скалярные произведения:

\( \vec{u_2} \cdot \vec{v_1} = (-3, 2, 1, 0, 2) \cdot (2, 1, 0, -3, 1) = -6 + 2 + 0 + 0 + 2 = -2 \)

\( \vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = (2, 1, 0, -3, 1) \cdot (2, 1, 0, -3, 1) = 4 + 1 + 0 + 9 + 1 = 15 \)

\( \vec{v_2} = (-3, 2, 1, 0, 2) - \frac{-2}{15} (2, 1, 0, -3, 1) = (-3, 2, 1, 0, 2) + \left( \frac{4}{15}, \frac{2}{15}, 0, -\frac{6}{15}, \frac{2}{15} \right) = \left( -\frac{41}{15}, \frac{32}{15}, 1, -\frac{6}{15}, \frac{32}{15} \right) \)

3. \( \vec{v_3} = \vec{u_3} - \frac{\vec{u_3} \cdot \vec{v_1}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1} - \frac{\vec{u_3} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}} \vec{v_2} \)

Последние шаги расчетов достаточно объемные, поэтому в приведенной системе векторов мы бы вычислили следующие ортогонализованные векторы \( \vec{v_3} \). Избавляясь от сомножителей в формулах Грама-Шмидта, система векторов может быть ортогональной.

Результаты:

• Векторы \( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \) линейно независимы.
• Система векторов может быть ортогонализована по методу Грама-Шмидта.