Проверить линейности оператора транспонирования для матриц второго порядка и найти матрицы этого оператора в заданном базисе

Условие:

Решение:

Этот вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", разделу "Матрицы и линейные операторы". Задание включает две части: проверку линейности оператора транспонирования для матриц второго порядка и нахождение матрицы этого оператора в заданном базисе. **Часть 1: Проверка линейности оператора транспонирования** Оператор транспонирования \( \varphi \) задан следующим образом: \[ \varphi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \] Линейный оператор \( \varphi \) должен удовлетворять двум свойствам: 1. Аддитивность: \( \varphi(A + B) = \varphi(A) + \varphi(B) \). 2. Однородность: \( \varphi(\lambda A) = \lambda \varphi(A) \) для любого скаляра \(\lambda\). Проверка аддитивности: Пусть \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) и \( B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \). Тогда \[ A + B = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix} \] Применим оператор \( \varphi \) к \( A + B \): \[ \varphi(A + B) = \varphi \left( \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a+e & c+g \\ b+f & d+h \end{pmatrix} \] Теперь отдельно применим оператор к \( A \) и \( B \): \[ \varphi(A) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}, \quad \varphi(B) = \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix} \] Теперь сложим результаты: \[ \varphi(A) + \varphi(B) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & c+g \\ b+f & d+h \end{pmatrix} \] Увидим, что \[ \varphi(A + B) = \varphi(A) + \varphi(B) \] Проверка однородности: Пусть \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) и \( \lambda \) — скаляр. Тогда \[ \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{pmatrix} \] Применим оператор \( \varphi \) к \( \lambda A \): \[ \varphi(\lambda A) = \varphi \left( \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda c \\ \lambda b & \lambda d \end{pmatrix} \] Теперь отдельно применим оператор к \( A \) и умножим результат на \( \lambda \): \[ \lambda \varphi(A) = \lambda \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda c \\ \lambda b & \lambda d \end{pmatrix} \] Увидим, что \[ \varphi(\lambda A) = \lambda \varphi(A) \] Так как оператор транспонирования удовлетворяет обоим свойствам, он является линейным оператором. **Часть 2: Нахождение матрицы оператора в базисе** Заданный базис: \[ E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь найдем образы этих векторов под действием оператора \( \varphi \): \[ \varphi(E_1) = \varphi \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_1 \] \[ \varphi(E_2) = \varphi \left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = E_3 \] \[ \varphi(E_3) = \varphi \left( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E_2 \] \[ \varphi(E_4) = \varphi \left( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E_4 \] Таким образом, векторы \( E_1, E_2, E_3, E_4 \) преобразуются следующим образом: \[ \varphi(E_1) = E_1, \quad \varphi(E_2) = E_3, \quad \varphi(E_3) = E_2, \quad \varphi(E_4) = E_4 \] Матрица оператора \( \varphi \) в базисе \( \{ E_1, E_2, E_3, E_4 \} \) записывается следующим образом: строки и столбцы соответствуют образам базисных векторов: \[ \text{Матрица оператора }\varphi = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Таким образом, мы доказали линейность оператора транспонирования и нашли его матрицу в заданном базисе.