Проверить, коллинеарны ли векторы

Предмет: Линейная алгебра (раздел — векторная алгебра).

Решим задачу пошагово.

Нам даны векторы: \[ a = (-1, 3, 2), \, b = (0, 1, 1), \, c = (-2, 7, 5). \] Нужно проверить, коллинеарны ли векторы \( a - c \) и \( b + c \).

1. Найдем вектор \( a - c \):

Для этого нужно из координат вектора \( a \) вычесть координаты вектора \( c \): \[ a - c = (-1, 3, 2) - (-2, 7, 5) = (-1 + 2, 3 - 7, 2 - 5) = (1, -4, -3). \]

2. Найдем вектор \( b + c \):

Для этого нужно сложить координаты вектора \( b \) с координатами вектора \( c \): \[ b + c = (0, 1, 1) + (-2, 7, 5) = (0 - 2, 1 + 7, 1 + 5) = (-2, 8, 6). \]

3. Проверим, являются ли векторы \( a - c \) и \( b + c \) коллинеарными.

Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т.е. существует некоторое число \( k \), такое что: \[ (1, -4, -3) = k(-2, 8, 6). \]

Проверим это. Коллинеарность означает, что должны выполняться следующие равенства: \[ 1 = k \cdot (-2), \] \[ -4 = k \cdot 8, \] \[ -3 = k \cdot 6. \]

Найдем значение \( k \) из каждого уравнения:

1. Из первого уравнения: \( k = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \).
2. Из второго уравнения: \( k = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \).
3. Из третьего уравнения: \( k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \).

Все коэффициенты пропорциональности \( k \) совпадают и равны \( -\frac{1}{2} \).

Вывод:

Векторы \( a - c = (1, -4, -3) \) и \( b + c = (-2, 8, 6) \) коллинеарны, так как их координаты пропорциональны с коэффициентом \( k = -\frac{1}{2} \).