Проверить, коллинеарны ли векторы

Предмет: Линейная алгебра (раздел — векторная алгебра).

Решим задачу пошагово.

Нам даны векторы: $\text{[}a=(-1,3,2),b=(0,1,1),c=(-2,7,5).\text{]}$ Нужно проверить, коллинеарны ли векторы $\text{(}a-c\text{)}$ и $\text{(}b+c\text{)}$.

1. Найдем вектор $\text{(}a-c\text{)}$:

Для этого нужно из координат вектора $\text{(}a\text{)}$ вычесть координаты вектора $\text{(}c\text{)}$: $\text{[}a-c=(-1,3,2)-(-2,7,5)=(-1+2,3-7,2-5)=(1,-4,-3).\text{]}$

2. Найдем вектор $\text{(}b+c\text{)}$:

Для этого нужно сложить координаты вектора $\text{(}b\text{)}$ с координатами вектора $\text{(}c\text{)}$: $\text{[}b+c=(0,1,1)+(-2,7,5)=(0-2,1+7,1+5)=(-2,8,6).\text{]}$

3. Проверим, являются ли векторы $\text{(}a-c\text{)}$ и $\text{(}b+c\text{)}$ коллинеарными.

Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т.е. существует некоторое число $\text{(}k\text{)}$, такое что: $\text{[}(1,-4,-3)=k(-2,8,6).\text{]}$

Проверим это. Коллинеарность означает, что должны выполняться следующие равенства: $\text{[}1=k\cdot (-2),\text{]}$ $\text{[}-4=k\cdot 8,\text{]}$ $\text{[}-3=k\cdot 6.\text{]}$

Найдем значение $\text{(}k\text{)}$ из каждого уравнения:

1. Из первого уравнения: $\text{(}k=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\text{)}$.
2. Из второго уравнения: $\text{(}k=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\text{)}$.
3. Из третьего уравнения: $\text{(}k=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}\text{)}$.

Все коэффициенты пропорциональности $\text{(}k\text{)}$ совпадают и равны $\text{(}-\frac{1}{2}\text{)}$.

Вывод:

Векторы $\text{(}a-c=(1,-4,-3)\text{)}$ и $\text{(}b+c=(-2,8,6)\text{)}$ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны с коэффициентом $\text{(}k=-\frac{1}{2}\text{)}$.