Проверить, что векторы линейно независимы

Этот вопрос относится к предмету "линейная алгебра" из раздела, посвященного линейной независимости.

Даны два вектора: \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Необходимо проверить их линейную независимость. Для этого нужно рассмотреть линейную комбинацию этих векторов и определить, когда она равна нулевому вектору: \[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \mathbf{0} \]

Подставляем значения векторов: \[ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Развернем это на системы уравнений: \[ \begin{pmatrix} c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 1 \\ c_1 \cdot (-2) + c_2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Представим в виде системы уравнений:

1. \( c_1 + c_2 = 0 \)
2. \(-2c_1 + c_2 = 0 \)

Решим эту систему. Из первого уравнения: \[ c_1 + c_2 = 0 \] \[ c_2 = -c_1 \]

Подставим \( c_2 = -c_1 \) во второе уравнение: \[ -2c_1 + (-c_1) = 0 \] \[ -3c_1 = 0 \] \[ c_1 = 0 \]

Подставим значение \( c_1 \) в уравнение \( c_2 = -c_1 \): \[ c_2 = -0 = 0 \]

Таким образом, единственное решение системы уравнений \( c_1 = 0 \) и \( c_2 = 0 \). Это означает, что нет ненулевой линейной комбинации, дающей нулевой вектор. Поэтому данные векторы линейно независимы.

Таким образом, векторы \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) и \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) линейно независимы.